diff --git a/.vs/ProjectSettings.json b/.vs/ProjectSettings.json new file mode 100644 index 0000000..f8b4888 --- /dev/null +++ b/.vs/ProjectSettings.json @@ -0,0 +1,3 @@ +{ + "CurrentProjectSetting": null +} \ No newline at end of file diff --git a/.vs/VSWorkspaceState.json b/.vs/VSWorkspaceState.json new file mode 100644 index 0000000..6b61141 --- /dev/null +++ b/.vs/VSWorkspaceState.json @@ -0,0 +1,6 @@ +{ + "ExpandedNodes": [ + "" + ], + "PreviewInSolutionExplorer": false +} \ No newline at end of file diff --git a/.vs/slnx.sqlite b/.vs/slnx.sqlite new file mode 100644 index 0000000..1f8b190 Binary files /dev/null and b/.vs/slnx.sqlite differ diff --git a/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/4745afa8-65ff-4183-a57f-9e934ee7e26a.vsidx b/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/4745afa8-65ff-4183-a57f-9e934ee7e26a.vsidx new file mode 100644 index 0000000..a03c568 Binary files /dev/null and b/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/4745afa8-65ff-4183-a57f-9e934ee7e26a.vsidx differ diff --git a/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/de33e534-248b-497f-9b91-49deb1c0be28.vsidx b/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/de33e534-248b-497f-9b91-49deb1c0be28.vsidx new file mode 100644 index 0000000..fc1a0fa Binary files /dev/null and b/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/de33e534-248b-497f-9b91-49deb1c0be28.vsidx differ diff --git a/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/read.lock b/.vs/summariesUSFAMCS/FileContentIndex/read.lock new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/.vs/summariesUSFAMCS/v17/.suo b/.vs/summariesUSFAMCS/v17/.suo new file mode 100644 index 0000000..14d9cdd Binary files /dev/null and b/.vs/summariesUSFAMCS/v17/.suo differ diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/1 \321\201\320\265\320\274 \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207\320\260/test.pdf" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/1 \321\201\320\265\320\274 \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207\320\260/test.pdf" new file mode 100644 index 0000000..a96c72a Binary files /dev/null and "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/1 \321\201\320\265\320\274 \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207\320\260/test.pdf" differ diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/1 \321\201\320\265\320\274 \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207\320\260/test.tex" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/1 \321\201\320\265\320\274 \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207\320\260/test.tex" new file mode 100644 index 0000000..eac81b6 --- /dev/null +++ "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/1 \321\201\320\265\320\274 \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207\320\260/test.tex" @@ -0,0 +1,218 @@ +\documentclass[a4paper, 12pt]{report} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[english,russian]{babel} +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools, tipa} +\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry} +\usepackage{ upgreek, mathrsfs, cancel} +\usepackage[unicode]{hyperref} +\usepackage{tikz} +\usepackage{colortbl} + +\newcommand{\RomanNumeralCaps}[1] + {\MakeUppercase{\romannumeral #1}} + +\newenvironment{Proof} % имя окружения для доказательства +{\par\noindent{$\blacklozenge$}} % символ рядом с \begin +{\hfill$\scriptstyle\boxtimes$} % символ рядом с \end + +\newenvironment{example} % имя окружения для примеров +{\par\noindent{\textsc{\textbf{Пример}}}} % символ рядом с \begin +%{\hfill$\scriptstyle\Box$} % символ рядом с \end + +\newenvironment{exercise} +{\par\noindent{\textsc{\textbf{Упражнение}.}}} +{\hfill} + +\newtheorem*{theorem}{Теорема} % окружение для теорем +\newtheorem*{corollary}{Следствия} % окружение для следствий +\newtheorem*{lemma}{Лемма} % окружение для лемм + +\newcommand{\Rm}{\mathbb{R}} +\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} +\newcommand{\I}{\mathbb{I}} +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +% команды для множеств + + +\title{\textbf{\Huge{Дискретная математика и математическая логика}}\\Конспект по 1 семестру + специальностей «экономическая кибернетика» и «компьютерная безопасность»\\(лектор В. И. Бенедиктович)} % оформление титульного листа +\date{} % отключение даты в титульнике +\begin{document} + \maketitle % отображение титульного листа в документе + \tableofcontents{} +\chapter{Высказывания} % новая глава +\section*{Высказывания, операции над нами. Формулы логики высказываний (ФЛВ). Равносильные формулы, тавтологии, противоречия. Теорема о подстановке формулы вместо переменной. Теорема о замене подформулы равносильной ей формулой} +\subsection*{Высказывания} +$\bullet$ \textbf{Высказывание} - повествовательное предложение, относительно которого можно сделать вывод, что его содержание истинно или ложно (далее \textbf{И} - истинно, \textbf{Л} - ложно).\\\\ +Свойства высказываний: +\begin{enumerate} + \item \textbf{Закон исключения третьего}\\ + Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным. + \item \textbf{Закон непротиворечивости}\\ + Никакое высказывание не может быть одновременно быть истинным и ложным. +\end{enumerate} + +\begin{example} + \begin{enumerate} + \item Сейчас дождь (Л); + \item $2 + 3 = 5$ (И); + \item $2 + 3 > 5$ (Л); + \item Закройте дверь (не высказывание); + \item Идёт ли дождь? (не высказывание); + \end{enumerate} +\end{example} +Обозначаем высказывания большими латинскими буквами ($A, B,\dotso, Z$). +\subsection*{Логические операции} +Из имеющихся высказываний можно получить другие спомощью логических операций\\ +\textbf{Логические операции}: +\begin{enumerate} + \item \textbf{Отрицание}\\ + $A$ - некоторое высказывание\\ + Высказывание типа: «неверно, что $A$» ($\bar A$/ $\neg A$)\\\\ + Таблица истинности:~~ + \begin{tabular}{|c|c|} + \hline + $A$ & $\overline{A}$ \\ + \hline + И & Л\\ + Л & И\\ + \hline + \end{tabular} + \item \textbf{Конъюнкция}\\ + Пусть $A$ и $B$ - некоторые высказывания\\ + Конъюнкцией высказываний $A$ и $B$ называется высказывание, которое обозначается $A \wedge B$ или $A \cdot B$ и которое принимает значение истинности тогда и только тогда, когда оба значения ($A$ и $B$) принимают значение «истинно».\\\\ + Таблица истинности:~~ + \begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline + $A$ & $B$ & $A \wedge B$ \\ + \hline + И & И & И\\ + И & Л & Л\\ + Л & И & Л\\ + Л & Л & Л\\ + \hline + \end{tabular} + \item \textbf{Дизъюнкция}\\ + Пусть $A$ и $B$ - некоторые высказывания\\ + Дизъюнкцией этих высказываний, которое обозначается $A \vee B$, называется высказывание, которое принимает значение «истинно» тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно\\\\ + Таблица истинности:~~ + \begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline + $A$ & $B$ & $A \vee B$ \\ + \hline + И & И & И\\ + И & Л & И\\ + Л & И & И\\ + Л & Л & Л\\ + \hline + \end{tabular} + \item \textbf{Импликация}\\ + Пусть $A$ и $B$ - некоторые высказывания\\ + Импликация - высказывание, обозначается $A \Rightarrow B$, типа «если $A$, то $B$», которое принимает значение «ложь», когда высказывание $A$ - истинно, а $B$ - ложно.\\ + + Также $A$ - посылка, $B$ - заключение.\\\\ + Если импликация является истинной, то $B$ - необходимое условие для $A$, либо $A$ является достаточным условием для $B$ , либо $A$ влечёт $B$. + Если импликация является ложной, то из $A$ не следует $B$ ($A \nRightarrow B$)\\\\ + Таблица истинности:~~ + \begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline + $A$ & $B$ & $A \Rightarrow B$ \\ + \hline + И & И & И\\ + И & Л & Л\\ + Л & И & И\\ + Л & Л & И\\ + \hline + \end{tabular} + \begin{center} + \textbf{Свойства импликации:} + \end{center} + \begin{enumerate} + \item транзитивность:\\ + $D = ((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$ - принимает значение \textbf{И} при любых наборах $A, B, C$ + + + + \end{enumerate} + \item Эквивалентность + Высказывание $ A $ называют эквивалентным высказыванию $ B $ ,если выполняется + $ A $ необходимое и достаточное условие для $ B $.\\\\ + Таблица истинности:~~ +\begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline + $A$ & $B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\ + \hline + И & И & И\\ + И & Л & Л\\ + Л & И & Л\\ + Л & Л & И\\ + \hline +\end{tabular} + +\end{enumerate} + + +\begin{center} +Соглашение о приоритетах логических операций +\end{center} +1) Отприцание приоритетнее всех остальных операций\\ +2) Конъюнкция приоритетнее 3)\\ +3) Дизъюнкция приоритетнее 4-5)\\ +4) Импликация приоритетнее 5)\\ +5) Эквивалентность\\\\ +\begin{center} + \textbf{Понятие пропозициональной формулы } +\end{center} +- выражение, построенное из пропозициональных букв $ A, B, C, \dotso $ по следующим правилам: +\begin{enumerate} + \item Все буквы пропозициональны и является пропозициональной формулой +\item Если $ A, B, C $ – пропозициональные формулы, то и выражения с логическими операциями тоже являются пропозициональными формулами +\item Других формул нет +\end{enumerate} +обозначение пропозициональной формулы: \\ +Пропозициональная формула определяется на множестве всех возможных наборов значений переменных функции принимающие аргументы И Л\\ +Такая функция может быть задана с помощью конечной таблицы истинности, содержащей $2^n$ строк. +Формулы, выражающие одну и ту же формулу, принимают дно и то же значение, называют эквивалентными (одна и та же таблица истинности). + +Примеры эквивалентных формул:\\ +\begin{enumerate} + \item $ \neg (\neg X) = X$ (закон двойного отрицания); + \item $X\vee Y=Y\vee X$ (коммутативность дизъюнкции); + \item $X\wedge Y = Y\wedge X$ (коммутативность конъюнкции); + \item $(X\vee Y)\vee Z= X\vee(Y\vee Z)$ (ассоциативность дизъюнкции); + \item $(X\wedge Y) \wedge Z= X\wedge (Y\wedge Z)$ (ассоциативность конъюнкции); + \item $X\wedge (Y\vee Z)=(X \wedge Y)\vee(X\wedge Z)$ (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции); + \item $X\vee(Y\wedge Z)=(X\vee Y)\wedge (X\vee Z)$ (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции); + \item $X\vee X= X$ (закон идемпотентности дизъюнкции); + \item $X\wedge X = X$ (законы идемпотентности конъюнкции); + \item $X\vee \text{Л} = Ч$; + \item $X \wedge \text{Л} = \text{Л }$; + \item $\text{И} \wedge X=X$; + + + \item $X\vee \top = \top$; + \item $X\vee(\neg X)=\top$; + \item $X (\neg X)=\text{Л}$; + \item $\neg(X\wedge Y)=(\neg X)\vee(\neg Y)$; + \item $\neg(X\vee Y)=(\neg X) (\neg Y)$ (законы двойственности, или де Моргана); + \item $(X\Rightarrow Y)= (\neg X)\vee Y$; + \item $(X\Leftrightarrow Y)=(x\Rightarrow Y) (Y\Rightarrow X)= (\neg X \vee Y) \wedge (X\Rightarrow Y)$; + \item $(X\Rightarrow Y)= (\neg Y\Rightarrow \neg X)$ (закон обращения, или контрапозиции). + \item $X\vee (X\wedge Y)= X$ (закон поглощения относительно дизъюнкции); + \item $X (X\vee Y) = X$ (закон поглощения относительно конъюнкции); + \item $X\Rightarrow (Y \Rightarrow Z) = (X\wedge Y) \Rightarrow Z$ (закон объединения посылок); + \item $X\Rightarrow (Y \Rightarrow Z) = Y \Rightarrow (X\Rightarrow Z)$ (закон перестановки посылок); + \item $(A \wedge X)\vee (A \wedge \neg X)= $ (элементарное склеивание); + \item $(A \wedge X)\vee (B \wedge \neg X)=(A \wedge X)\vee (B \wedge (\neg X))\vee (A \wedge B)$ (обобщенное склеивание). + + + +\end{enumerate} + + + + +\end{document} diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.aux" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.aux" new file mode 100644 index 0000000..5dd8bc1 --- /dev/null +++ "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.aux" @@ -0,0 +1,26 @@ +\relax +\providecommand\babel@aux[2]{} +\@nameuse{bbl@beforestart} +\catcode `"\active +\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{} +\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument} +\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined +\global\let\oldnewlabel\newlabel +\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2} +\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}} +\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined +\let\newlabel\oldnewlabel +\fi} +\fi} +\global\let\hyper@last\relax +\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1} +\providecommand\HyField@AuxAddToFields[1]{} +\providecommand\HyField@AuxAddToCoFields[2]{} +\babel@aux{russian}{} +\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {1}Булевы функции}{2}{chapter.1}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {2}Теория графов}{13}{chapter.2}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} +\gdef \@abspage@last{17} diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.log" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.log" new file mode 100644 index 0000000..937835b --- /dev/null +++ "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.log" @@ -0,0 +1,1494 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.24 (TeX Live 2022) (preloaded format=pdflatex 2022.10.16) 20 MAY 2023 17:00 +entering extended mode + restricted \write18 enabled. + %&-line parsing enabled. +**main.tex +(./main.tex +LaTeX2e <2022-06-01> patch level 5 +L3 programming layer <2022-09-28> +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/report.cls +Document Class: report 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX document class +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +File: size12.clo 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count185 +\c@chapter=\count186 +\c@section=\count187 +\c@subsection=\count188 +\c@subsubsection=\count189 +\c@paragraph=\count190 +\c@subparagraph=\count191 +\c@figure=\count192 +\c@table=\count193 +\abovecaptionskip=\skip47 +\belowcaptionskip=\skip48 +\bibindent=\dimen138 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +Package: fontenc 2021/04/29 v2.0v Standard LaTeX package + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def +File: t2aenc.def 2022/06/11 v1.0j Cyrillic encoding definition file +Now handling font encoding T2A ... +... processing UTF-8 mapping file for font encoding T2A + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu +File: t2aenc.dfu 2022/06/07 v1.3c UTF-8 support + defining Unicode char U+00A4 (decimal 164) + defining Unicode char U+00A7 (decimal 167) + defining Unicode char U+00AB (decimal 171) + defining Unicode char U+00BB (decimal 187) + defining Unicode char U+0131 (decimal 305) + defining Unicode char U+0237 (decimal 567) + defining Unicode char U+0400 (decimal 1024) + defining Unicode char U+0401 (decimal 1025) + defining Unicode char U+0402 (decimal 1026) + defining Unicode char U+0403 (decimal 1027) + defining Unicode char U+0404 (decimal 1028) + defining Unicode char U+0405 (decimal 1029) + defining Unicode char U+0406 (decimal 1030) + defining Unicode char U+0407 (decimal 1031) + defining Unicode char U+0408 (decimal 1032) + defining Unicode char U+0409 (decimal 1033) + defining Unicode char U+040A (decimal 1034) + defining Unicode char U+040B (decimal 1035) + defining Unicode char U+040C (decimal 1036) + defining Unicode char U+040D (decimal 1037) + defining Unicode char U+040E (decimal 1038) + defining Unicode char U+040F (decimal 1039) + defining Unicode char U+0410 (decimal 1040) + defining Unicode char U+0411 (decimal 1041) + defining Unicode char U+0412 (decimal 1042) + defining Unicode char U+0413 (decimal 1043) + defining Unicode char U+0414 (decimal 1044) + defining Unicode char U+0415 (decimal 1045) + defining Unicode char U+0416 (decimal 1046) + defining Unicode char U+0417 (decimal 1047) + defining Unicode char U+0418 (decimal 1048) + defining Unicode char U+0419 (decimal 1049) + defining Unicode char U+041A (decimal 1050) + defining Unicode char U+041B (decimal 1051) + defining Unicode char U+041C (decimal 1052) + defining Unicode char U+041D (decimal 1053) + defining Unicode char U+041E (decimal 1054) + defining Unicode char U+041F (decimal 1055) + defining Unicode char U+0420 (decimal 1056) + defining Unicode char U+0421 (decimal 1057) + defining Unicode char U+0422 (decimal 1058) + defining Unicode char U+0423 (decimal 1059) + defining Unicode char U+0424 (decimal 1060) + defining Unicode char U+0425 (decimal 1061) + defining Unicode char U+0426 (decimal 1062) + defining Unicode char U+0427 (decimal 1063) + defining Unicode char U+0428 (decimal 1064) + defining Unicode char U+0429 (decimal 1065) + defining Unicode char U+042A (decimal 1066) + defining Unicode char U+042B (decimal 1067) + defining Unicode char U+042C (decimal 1068) + defining Unicode char U+042D (decimal 1069) + defining Unicode char U+042E (decimal 1070) + defining Unicode char U+042F (decimal 1071) + defining Unicode char U+0430 (decimal 1072) + defining Unicode char U+0431 (decimal 1073) + defining Unicode char U+0432 (decimal 1074) + defining Unicode char U+0433 (decimal 1075) + defining Unicode char U+0434 (decimal 1076) + defining Unicode char U+0435 (decimal 1077) + defining Unicode char U+0436 (decimal 1078) + defining Unicode char U+0437 (decimal 1079) + defining Unicode char U+0438 (decimal 1080) + defining Unicode char U+0439 (decimal 1081) + defining Unicode char U+043A (decimal 1082) + defining Unicode char U+043B (decimal 1083) + defining Unicode char U+043C (decimal 1084) + defining Unicode char U+043D (decimal 1085) + defining Unicode char U+043E (decimal 1086) + defining Unicode char U+043F (decimal 1087) + defining Unicode char U+0440 (decimal 1088) + defining Unicode char U+0441 (decimal 1089) + defining Unicode char U+0442 (decimal 1090) + defining Unicode char U+0443 (decimal 1091) + defining Unicode char U+0444 (decimal 1092) + defining Unicode char U+0445 (decimal 1093) + defining Unicode char U+0446 (decimal 1094) + defining Unicode char U+0447 (decimal 1095) + defining Unicode char U+0448 (decimal 1096) + defining Unicode char U+0449 (decimal 1097) + defining Unicode char U+044A (decimal 1098) + defining Unicode char U+044B (decimal 1099) + defining Unicode char U+044C (decimal 1100) + defining Unicode char U+044D (decimal 1101) + defining Unicode char U+044E (decimal 1102) + defining Unicode char U+044F (decimal 1103) + defining Unicode char U+0450 (decimal 1104) + defining Unicode char U+0451 (decimal 1105) + defining Unicode char U+0452 (decimal 1106) + defining Unicode char U+0453 (decimal 1107) + defining Unicode char U+0454 (decimal 1108) + defining Unicode char U+0455 (decimal 1109) + defining Unicode char U+0456 (decimal 1110) + defining Unicode char U+0457 (decimal 1111) + defining Unicode char U+0458 (decimal 1112) + defining Unicode char U+0459 (decimal 1113) + defining Unicode char U+045A (decimal 1114) + defining Unicode char U+045B (decimal 1115) + defining Unicode char U+045C (decimal 1116) + defining Unicode char U+045D (decimal 1117) + defining Unicode char U+045E (decimal 1118) + defining Unicode char U+045F (decimal 1119) + defining Unicode char U+0490 (decimal 1168) + defining Unicode char U+0491 (decimal 1169) + defining Unicode char U+0492 (decimal 1170) + defining Unicode char U+0493 (decimal 1171) + defining Unicode char U+0496 (decimal 1174) + defining Unicode char U+0497 (decimal 1175) + defining Unicode char U+0498 (decimal 1176) + defining Unicode char U+0499 (decimal 1177) + defining Unicode char U+049A (decimal 1178) + defining Unicode char U+049B (decimal 1179) + defining Unicode char U+049C (decimal 1180) + defining Unicode char U+049D (decimal 1181) + defining Unicode char U+04A0 (decimal 1184) + defining Unicode char U+04A1 (decimal 1185) + defining Unicode char U+04A2 (decimal 1186) + defining Unicode char U+04A3 (decimal 1187) + defining Unicode char U+04A4 (decimal 1188) + defining Unicode char U+04A5 (decimal 1189) + defining Unicode char U+04AA (decimal 1194) + defining Unicode char U+04AB (decimal 1195) + defining Unicode char U+04AE (decimal 1198) + defining Unicode char U+04AF (decimal 1199) + defining Unicode char U+04B0 (decimal 1200) + defining Unicode char U+04B1 (decimal 1201) + defining Unicode char U+04B2 (decimal 1202) + defining Unicode char U+04B3 (decimal 1203) + defining Unicode char U+04B6 (decimal 1206) + defining Unicode char U+04B7 (decimal 1207) + defining Unicode char U+04B8 (decimal 1208) + defining Unicode char U+04B9 (decimal 1209) + defining Unicode char U+04BA (decimal 1210) + defining Unicode char U+04BB (decimal 1211) + defining Unicode char U+04C0 (decimal 1216) + defining Unicode char U+04C1 (decimal 1217) + defining Unicode char U+04C2 (decimal 1218) + defining Unicode char U+04D0 (decimal 1232) + defining Unicode char U+04D1 (decimal 1233) + defining Unicode char U+04D2 (decimal 1234) + defining Unicode char U+04D3 (decimal 1235) + defining Unicode char U+04D4 (decimal 1236) + defining Unicode char U+04D5 (decimal 1237) + defining Unicode char U+04D6 (decimal 1238) + defining Unicode char U+04D7 (decimal 1239) + defining Unicode char U+04D8 (decimal 1240) + defining Unicode char U+04D9 (decimal 1241) + defining Unicode char U+04DA (decimal 1242) + defining Unicode char U+04DB (decimal 1243) + defining Unicode char U+04DC (decimal 1244) + defining Unicode char U+04DD (decimal 1245) + defining Unicode char U+04DE (decimal 1246) + defining Unicode char U+04DF (decimal 1247) + defining Unicode char U+04E2 (decimal 1250) + defining Unicode char U+04E3 (decimal 1251) + defining Unicode char U+04E4 (decimal 1252) + defining Unicode char U+04E5 (decimal 1253) + defining Unicode char U+04E6 (decimal 1254) + defining Unicode char U+04E7 (decimal 1255) + defining Unicode char U+04E8 (decimal 1256) + defining Unicode char U+04E9 (decimal 1257) + defining Unicode char U+04EC (decimal 1260) + defining Unicode char U+04ED (decimal 1261) + defining Unicode char U+04EE (decimal 1262) + defining Unicode char U+04EF (decimal 1263) + defining Unicode char U+04F0 (decimal 1264) + defining Unicode char U+04F1 (decimal 1265) + defining Unicode char U+04F2 (decimal 1266) + defining Unicode char U+04F3 (decimal 1267) + defining Unicode char U+04F4 (decimal 1268) + defining Unicode char U+04F5 (decimal 1269) + defining Unicode char U+04F8 (decimal 1272) + defining Unicode char U+04F9 (decimal 1273) + defining Unicode char U+200C (decimal 8204) + defining Unicode char U+2013 (decimal 8211) + defining Unicode char U+2014 (decimal 8212) + defining Unicode char U+2018 (decimal 8216) + defining Unicode char U+2019 (decimal 8217) + defining Unicode char U+201C (decimal 8220) + defining Unicode char U+201D (decimal 8221) + defining Unicode char U+201E (decimal 8222) + defining Unicode char U+2030 (decimal 8240) + defining Unicode char U+2031 (decimal 8241) + defining Unicode char U+2116 (decimal 8470) + defining Unicode char U+2329 (decimal 9001) + defining Unicode char U+3008 (decimal 12296) + defining Unicode char U+232A (decimal 9002) + defining Unicode char U+3009 (decimal 12297) + defining Unicode char U+2423 (decimal 9251) + defining Unicode char U+27E8 (decimal 10216) + defining Unicode char U+27E9 (decimal 10217) + defining Unicode char U+FB00 (decimal 64256) + defining Unicode char U+FB01 (decimal 64257) + defining Unicode char U+FB02 (decimal 64258) + defining Unicode char U+FB03 (decimal 64259) + defining Unicode char U+FB04 (decimal 64260) + defining Unicode char U+FB05 (decimal 64261) + defining Unicode char U+FB06 (decimal 64262) +)) +LaTeX Font Info: Trying to load font information for T2A+cmr on input line 1 +12. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd +File: t2acmr.fd 2001/08/11 v1.0a Computer Modern Cyrillic font definitions +)) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2021/02/14 v1.3d Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks16 +\inpenc@posthook=\toks17 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2022/10/04 3.81 The Babel package +\babel@savecnt=\count194 +\U@D=\dimen139 +\l@unhyphenated=\language87 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def) +\bbl@readstream=\read2 +\bbl@dirlevel=\count195 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf +Language: english 2017/06/06 v3.3r English support from the babel system +Package babel Info: Hyphen rules for 'canadian' set to \l@english +(babel) (\language0). Reported on input line 102. +Package babel Info: Hyphen rules for 'australian' set to \l@ukenglish +(babel) (\language21). Reported on input line 105. +Package babel Info: Hyphen rules for 'newzealand' set to \l@ukenglish +(babel) (\language21). Reported on input line 108. +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf +File: russianb.ldf 2021/01/10 1.3m Russian support for the Babel system +Language: russian 2020/09/09 1.3k Russian support for the Babel system +Package babel Info: Making " an active character on input line 124. +Package babel Info: Default for \cyrdash is provided on input line 163. +)) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/babel/locale/ru/babel-russian.tex +Package babel Info: Importing font and identification data for russian +(babel) from babel-ru.ini. Reported on input line 11. +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/babel/locale/en/babel-english.tex +Package babel Info: Importing font and identification data for english +(babel) from babel-en.ini. Reported on input line 11. +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2022/04/08 v2.17n AMS math features +\@mathmargin=\skip49 + +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2021/08/26 v2.01 AMS text + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions +\@emptytoks=\toks18 +\ex@=\dimen140 +)) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols +\pmbraise@=\dimen141 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 2022/04/08 v2.04 operator names +) +\inf@bad=\count196 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 234. +\uproot@=\count197 +\leftroot@=\count198 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 399. +LaTeX Info: Redefining \colon on input line 410. +\classnum@=\count199 +\DOTSCASE@=\count266 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 496. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 499. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 620. +\Mathstrutbox@=\box51 +\strutbox@=\box52 +LaTeX Info: Redefining \big on input line 722. +LaTeX Info: Redefining \Big on input line 723. +LaTeX Info: Redefining \bigg on input line 724. +LaTeX Info: Redefining \Bigg on input line 725. +\big@size=\dimen142 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 743. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 744. +\macc@depth=\count267 +LaTeX Info: Redefining \bmod on input line 905. +LaTeX Info: Redefining \pmod on input line 910. +LaTeX Info: Redefining \smash on input line 940. +LaTeX Info: Redefining \relbar on input line 970. +LaTeX Info: Redefining \Relbar on input line 971. +\c@MaxMatrixCols=\count268 +\dotsspace@=\muskip16 +\c@parentequation=\count269 +\dspbrk@lvl=\count270 +\tag@help=\toks19 +\row@=\count271 +\column@=\count272 +\maxfields@=\count273 +\andhelp@=\toks20 +\eqnshift@=\dimen143 +\alignsep@=\dimen144 +\tagshift@=\dimen145 +\tagwidth@=\dimen146 +\totwidth@=\dimen147 +\lineht@=\dimen148 +\@envbody=\toks21 +\multlinegap=\skip50 +\multlinetaggap=\skip51 +\mathdisplay@stack=\toks22 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2953. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2954. +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106. +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +Package: amsthm 2020/05/29 v2.20.6 +\thm@style=\toks23 +\thm@bodyfont=\toks24 +\thm@headfont=\toks25 +\thm@notefont=\toks26 +\thm@headpunct=\toks27 +\thm@preskip=\skip52 +\thm@postskip=\skip53 +\thm@headsep=\skip54 +\dth@everypar=\toks28 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +Package: mathtools 2022/06/29 v1.29 mathematical typesetting tools + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 2022/05/29 v1.15 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks29 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +Package: calc 2017/05/25 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ) +\calc@Acount=\count274 +\calc@Bcount=\count275 +\calc@Adimen=\dimen149 +\calc@Bdimen=\dimen150 +\calc@Askip=\skip55 +\calc@Bskip=\skip56 +LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 80. +LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 81. +\calc@Ccount=\count276 +\calc@Cskip=\skip57 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +Package: mhsetup 2021/03/18 v1.4 programming setup (MH) +) +\g_MT_multlinerow_int=\count277 +\l_MT_multwidth_dim=\dimen151 +\origjot=\skip58 +\l_MT_shortvdotswithinadjustabove_dim=\dimen152 +\l_MT_shortvdotswithinadjustbelow_dim=\dimen153 +\l_MT_above_intertext_sep=\dimen154 +\l_MT_below_intertext_sep=\dimen155 +\l_MT_above_shortintertext_sep=\dimen156 +\l_MT_below_shortintertext_sep=\dimen157 +\xmathstrut@box=\box53 +\xmathstrut@dim=\dimen158 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/tipa/tipa.sty +Package: tipa 2002/08/08 TIPA version 1.1 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +Package: fontenc 2021/04/29 v2.0v Standard LaTeX package + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3enc.def +File: t3enc.def 2001/12/31 T3 encoding +Now handling font encoding T3 ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding T3 +LaTeX Font Info: Trying to load font information for T2A+cmss on input line +357. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmss.fd +File: t2acmss.fd 2001/08/11 v1.0a Computer Modern Cyrillic font definitions +)))) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2020/01/02 v5.9 Page Geometry + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +Package: ifvtex 2019/10/25 v1.7 ifvtex legacy package. Use iftex instead. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +Package: iftex 2022/02/03 v1.0f TeX engine tests +)) +\Gm@cnth=\count278 +\Gm@cntv=\count279 +\c@Gm@tempcnt=\count280 +\Gm@bindingoffset=\dimen159 +\Gm@wd@mp=\dimen160 +\Gm@odd@mp=\dimen161 +\Gm@even@mp=\dimen162 +\Gm@layoutwidth=\dimen163 +\Gm@layoutheight=\dimen164 +\Gm@layouthoffset=\dimen165 +\Gm@layoutvoffset=\dimen166 +\Gm@dimlist=\toks30 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/was/upgreek.sty +Package: upgreek 2003/02/12 v2.0 (WaS) +Package upgreek Info: Using Euler Roman for upright Greek on input line 31. +\symugrf@m=\mathgroup6 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `ugrf@m' in version `bold' +(Font) U/eur/m/n --> U/eur/b/n on input line 38. +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty +Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) +\symrsfs=\mathgroup7 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/cancel/cancel.sty +Package: cancel 2013/04/12 v2.2 Cancel math terms +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2022-09-22 v7.00t Hypertext links for LaTeX + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +Package: ltxcmds 2020-05-10 v1.25 LaTeX kernel commands for general use (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +Package: pdftexcmds 2020-06-27 v0.33 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO +) + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +Package: infwarerr 2019/12/03 v1.5 Providing info/warning/error messages (HO) +) +Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found. +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +Package: kvsetkeys 2022-10-05 v1.19 Key value parser (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +Package: kvdefinekeys 2019-12-19 v1.6 Define keys (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +Package: pdfescape 2019/12/09 v1.15 Implements pdfTeX's escape features (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +Package: hycolor 2020-01-27 v1.10 Color options for hyperref/bookmark (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +Package: letltxmacro 2019/12/03 v1.6 Let assignment for LaTeX macros (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +Package: auxhook 2019-12-17 v1.6 Hooks for auxiliary files (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2022-05-17 v2.50 Cross-referencing by name of section + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/refcount/refcount.sty +Package: refcount 2019/12/15 v3.6 Data extraction from label references (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/gettitlestring/gettitlestring.sty +Package: gettitlestring 2019/12/15 v1.6 Cleanup title references (HO) + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2022-06-15 v3.15 Key value format for package options (HO) +)) +\c@section@level=\count281 +) +\@linkdim=\dimen167 +\Hy@linkcounter=\count282 +\Hy@pagecounter=\count283 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2022-09-22 v7.00t Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +Now handling font encoding PD1 ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +Package: intcalc 2019/12/15 v1.3 Expandable calculations with integers (HO) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +Package: etexcmds 2019/12/15 v1.7 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO) +) +\Hy@SavedSpaceFactor=\count284 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def +File: puenc.def 2022-09-22 v7.00t Hyperref: PDF Unicode definition (HO) +Now handling font encoding PU ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PU +) +Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 3149. +Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 4045. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4162. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4167. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4170. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4177. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4182. +Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined. +\stockwidth=\dimen168 +\stockheight=\dimen169 +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4410. +\c@Hy@tempcnt=\count285 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +\Urlmuskip=\muskip17 +Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 4748. +\XeTeXLinkMargin=\dimen170 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +Package: bitset 2019/12/09 v1.3 Handle bit-vector datatype (HO) + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +Package: bigintcalc 2019/12/15 v1.5 Expandable calculations on big integers (HO +) +)) +\Fld@menulength=\count286 +\Field@Width=\dimen171 +\Fld@charsize=\dimen172 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6027. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6032. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6035. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6042. +Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6047. +Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6052. +Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6057. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +Package: atbegshi-ltx 2021/01/10 v1.0c Emulation of the original atbegshi +package with kernel methods +) +\Hy@abspage=\count287 +\c@Item=\count288 +\c@Hfootnote=\count289 +) +Package hyperref Info: Driver (autodetected): hpdftex. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2022-09-22 v7.00t Hyperref driver for pdfTeX + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +Package: atveryend-ltx 2020/08/19 v1.0a Emulation of the original atveryend pac +kage +with kernel methods +) +\Fld@listcount=\count290 +\c@bookmark@seq@number=\count291 + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +Package: rerunfilecheck 2022-07-10 v1.10 Rerun checks for auxiliary files (HO) + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +Package: uniquecounter 2019/12/15 v1.4 Provide unlimited unique counter (HO) +) +Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2 +85. +) +\Hy@SectionHShift=\skip59 +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +File: l3backend-pdftex.def 2022-09-28 L3 backend support: PDF output (pdfTeX) +\l__color_backend_stack_int=\count292 +\l__pdf_internal_box=\box54 +) +No file main.aux. +\openout1 = `main.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T2A/cmr/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T3/cmr/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: Trying to load font information for T3+cmr on input line 42 +. +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3cmr.fd +File: t3cmr.fd 2001/12/31 TIPA font definitions +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 42. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 42. +LaTeX Info: Redefining \th on input line 42. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 2021/09/16 v1.2d Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2022/03/10 v1.4e Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 2021/08/11 v1.11 sin cos tan (DPC) +) +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 107. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2022/09/22 v1.2b Graphics/color driver for pdftex + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count293 +\scratchdimen=\dimen173 +\scratchbox=\box55 +\nofMPsegments=\count294 +\nofMParguments=\count295 +\everyMPshowfont=\toks31 +\MPscratchCnt=\count296 +\MPscratchDim=\dimen174 +\MPnumerator=\count297 +\makeMPintoPDFobject=\count298 +\everyMPtoPDFconversion=\toks32 +))) (c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty +Package: epstopdf-base 2020-01-24 v2.11 Base part for package epstopdf +Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4 +85. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg +File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv +e +)) +\Gin@req@height=\dimen175 +\Gin@req@width=\dimen176 +) +*geometry* driver: auto-detecting +*geometry* detected driver: pdftex +*geometry* verbose mode - [ preamble ] result: +* driver: pdftex +* paper: a4paper +* layout: +* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt) +* modes: +* h-part:(L,W,R)=(56.9055pt, 483.69687pt, 56.9055pt) +* v-part:(T,H,B)=(56.9055pt, 731.23584pt, 56.9055pt) +* \paperwidth=597.50787pt +* \paperheight=845.04684pt +* \textwidth=483.69687pt +* \textheight=731.23584pt +* \oddsidemargin=-15.36449pt +* \evensidemargin=-15.36449pt +* \topmargin=-52.36449pt +* \headheight=12.0pt +* \headsep=25.0pt +* \topskip=12.0pt +* \footskip=30.0pt +* \marginparwidth=35.0pt +* \marginparsep=10.0pt +* \columnsep=10.0pt +* \skip\footins=10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +* \hoffset=0.0pt +* \voffset=0.0pt +* \mag=1000 +* \@twocolumnfalse +* \@twosidefalse +* \@mparswitchfalse +* \@reversemarginfalse +* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt) + +Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 42. +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `main.out'. + +LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 44. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A +) +LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 44. + + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B +) +LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+rsfs on input line 44 +. + +(c:/texlive/2022/texmf-dist/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd +File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) +) + +LaTeX Warning: No \author given. + +[1 + +{c:/texlive/2022/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] +No file main.toc. +\tf@toc=\write4 +\openout4 = `main.toc'. + + +pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{page.1}) has +been already used, duplicate ignored + + \relax +l.45 \chapter + {Булевы функции} % новая глава [1 + +] +{\cyrillictext \CYRG \cyrl \cyra \cyrv \cyra } 1. + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 48--51 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 57--61 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 61--63 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 65--66 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 66--69 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 72--77 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 72--77 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 80--87 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 80--87 + + [] + +[2 + +] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 90--101 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 90--101 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 90--101 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 90--101 + + [] + + +Overfull \hbox (31.27141pt too wide) in paragraph at lines 104--108 +\T2A/cmr/m/n/12 $[] \U/msa/m/n/12 6 []$ \T2A/cmr/m/n/12 , - $\OML/cm +m/m/it/12 f[]\OT1/cmr/m/n/12 ([]) \U/msa/m/n/12 6 \OML/cmm/m/it/12 f[]\OT1/cmr/ +m/n/12 ([])\OML/cmm/m/it/12 ; [] ; f[]\OT1/cmr/m/n/12 ([]) \U/msa/m/n/12 6 \OML +/cmm/m/it/12 f[]\OT1/cmr/m/n/12 ([]) \OMS/cmsy/m/n/12 ) \OT1/cmr/m/n/12 (\OML/c +mm/m/it/12 f[]\OT1/cmr/m/n/12 ([])\OML/cmm/m/it/12 ; [] ; f[]\OT1/cmr/m/n/12 ([ +])) \U/msa/m/n/12 6 \OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 f[]\OT1/cmr/m/n/12 ([])\O +ML/cmm/m/it/12 ; [] ; f[]\OT1/cmr/m/n/12 ([])) \OMS/cmsy/m/n/12 ) + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 104--108 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 112--131 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 112--131 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 112--131 + + [] + + +Overfull \hbox (8.49353pt too wide) in paragraph at lines 112--131 +\OMS/cmsy/m/n/12 ^^O$ \T2A/cmr/m/n/12 - $\OML/cmm/m/it/12 f[]\OT1/cmr/m/ +n/12 (\OML/cmm/m/it/12 x[]; [] ; x[]\OT1/cmr/m/n/12 ) = []([]\OML/cmm/m/it/12 ; + [] ; []\OT1/cmr/m/n/12 )$ \T2A/cmr/m/n/12 ---- -- +- $\OML/cmm/m/it/12 f\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 x[]; [] ; x[]\OT1/c +mr/m/n/12 )$ + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 112--131 + + [] + +[3] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 131--136 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 162--167 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 162--167 + + [] + +[4] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 202--212 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 202--212 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 202--212 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 202--212 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 216--225 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 216--225 + + [] + +[5] [6] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 262--265 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 265--271 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 265--271 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 265--271 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 280--304 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 280--304 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 280--304 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 280--304 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 280--304 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 280--304 + + [] + +[7] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 305--315 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 305--315 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 305--315 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 318--346 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 318--346 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 318--346 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 318--346 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 318--346 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 318--346 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 318--346 + + [] + +[8] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 351--390 + + [] + +[9] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 416--432 + + [] + +[10] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 449--455 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 449--455 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 449--455 + + [] + +[11] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 467--474 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 467--474 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 476--478 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 481--501 + + [] + +[12] +{\cyrillictext \CYRG \cyrl \cyra \cyrv \cyra } 2. + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 512--514 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 512--514 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 512--514 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 515--526 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 527--528 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 527--528 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 529--530 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 529--530 + + [] + +[13 + +] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 531--532 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 531--532 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 537--538 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 539--540 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 541--542 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 543--544 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 545--546 + + [] + + +Overfull \hbox (1.63434pt too wide) in paragraph at lines 549--550 +[]\T2A/cmr/bx/n/12 / \T2A/cmr/m/n/12 -- $\OML/c +mm/m/it/12 k$ \T2A/cmr/m/n/12 ($\OML/cmm/m/it/12 k$\T2A/cmr/m/n/12 -) + - , - $[]\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 v\OT1/cmr/m/n/12 ) = + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 549--550 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 549--550 + + [] + + +! LaTeX Error: Unicode character ⊂ (U+2282) + not set up for use with LaTeX. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H for immediate help. + ... + +l.553 $ \bullet $ Если $E⊂ + V^2$ (составлено из упоряд... + +You may provide a definition with +\DeclareUnicodeCharacter + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 551--556 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 551--556 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 551--556 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 551--556 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 551--556 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 557--558 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 559--562 + + [] + + +! LaTeX Error: Unicode character ⊂ (U+2282) + not set up for use with LaTeX. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H for immediate help. + ... + +l.576 ...раф} — граф $G'$, где $V'⊂ + V$ и/или $E⊂E'$.\\\\ +You may provide a definition with +\DeclareUnicodeCharacter + + +! LaTeX Error: Unicode character ⊂ (U+2282) + not set up for use with LaTeX. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H for immediate help. + ... + +l.576 ...ф $G'$, где $V'⊂V$ и/или $E⊂ + E'$.\\\\ +You may provide a definition with +\DeclareUnicodeCharacter + + +! LaTeX Error: Unicode character ⊂ (U+2282) + not set up for use with LaTeX. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H for immediate help. + ... + +l.577 Если $V'⊂ + V(G)$, то \textbf{порожденный (индуц... + +You may provide a definition with +\DeclareUnicodeCharacter + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + + +Overfull \hbox (21.66182pt too wide) in paragraph at lines 569--583 +\T2A/cmr/m/n/12 $\OML/cmm/m/it/12 V[]V\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 G\ +OT1/cmr/m/n/12 )$\T2A/cmr/m/n/12 , \T2A/cmr/bx/n/12 --- (-- +---) - \T2A/cmr/m/n/12 -- - $\OML/cmm/m/it/12 V[] +G\OT1/cmr/m/n/12 [\OML/cmm/m/it/12 V[]\OT1/cmr/m/n/12 ] = + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 569--583 + + [] + +[14] + +LaTeX Warning: Command \textendash invalid in math mode on input line 593. + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 584--596 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 584--596 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 584--596 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 601--605 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 606--607 + + [] + +[15] [16] (./main.aux) + +Package rerunfilecheck Warning: File `main.out' has changed. +(rerunfilecheck) Rerun to get outlines right +(rerunfilecheck) or use package `bookmark'. + +Package rerunfilecheck Info: Checksums for `main.out': +(rerunfilecheck) Before: +(rerunfilecheck) After: A267C854D9F78744DD554B243ECD89B9;302. + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 13835 strings out of 475071 + 213711 string characters out of 5782907 + 579513 words of memory out of 5000000 + 34960 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 492236 words of font info for 85 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 72i,10n,77p,822b,620s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s +{c:/texlive/2022/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t2a.enc} +Output written on main.pdf (17 pages, 304430 bytes). +PDF statistics: + 236 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 177 compressed objects within 2 object streams + 64 named destinations out of 1000 (max. 500000) + 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.out" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.out" new file mode 100644 index 0000000..a58ac0b --- /dev/null +++ "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.out" @@ -0,0 +1,2 @@ +\BOOKMARK [0][-]{chapter.1}{\376\377\004\021\004\103\004\073\004\065\004\062\004\113\000\040\004\104\004\103\004\075\004\072\004\106\004\070\004\070}{}% 1 +\BOOKMARK [0][-]{chapter.2}{\376\377\004\042\004\065\004\076\004\100\004\070\004\117\000\040\004\063\004\100\004\060\004\104\004\076\004\062}{}% 2 diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.pdf" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.pdf" index 5e567de..d4f1f49 100644 Binary files "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.pdf" and "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.pdf" differ diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.synctex.gz" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.synctex.gz" new file mode 100644 index 0000000..2bd98fd Binary files /dev/null and "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.synctex.gz" differ diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.tex" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.tex" index 6aaeac9..a5fe542 100644 --- "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.tex" +++ "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.tex" @@ -499,5 +499,120 @@ $\bar x \bar y \vee y z \vee x \bar z$ и\\ $y \bar z \vee \bar x z \vee x y$ + + + + + + + +\chapter{Теория графов} % новая глава +\section*{Основные понятия} + +$\bullet$ \textbf{Граф} - следующая упорядоченная пара: $G = (V, E)$, где $V$ - непустое множество, состоящая из вершин графа, а $E \subseteq V^{(2)}$, где $V^{(2)}$ - все двухэлементные подмножества из $V$.\\\\ +$V^{(2)} = \{ \{v, w \} | v, w \in V \}$\\\\ + +$\bullet$ Граф \textbf{конечный}, если множество вершин конечно$|V| = n$. \\\\ +Если $|E|=n$, то граф $G$ обозначается $G(n,m)$ \\\\ +$n=|V|$ - порядок графа $G$.\\ +$m=|E|$ - размер графа $G$.\\ +Если $n=1$, то граф тривиальный. \\ +$\bullet$ Граф \textbf{простой}, если он не имеет петель - $\{v, w\}$ и не имеет кратных ребер, то есть несколько пар $\{v, w\}$.\\\\ +Вершины $v$ и $w$ \textbf{смежные}, обозначают $v\tilde w$, если ребро $\{v, w\} \in E$.\\\\ +Ребро $e=\{v, w\}=vw$ инцидентно вершинам $v$ и $w$, а эти вершины $v,~w$ называют концами $e$.\\\\ +Два ребра называют смежными, если существует $ v \in V $, которой они инцидентны или существует их общий конец.\\\\ +Пусть есть $v \in V(G)$. тогда множество всех вершин $u$ таких, что $u \tilde v, ~~ N_G(v)= \{u \in V(G)|u\tilde v\}$ называют окружением вершины $v$.\\\\ +$N_G(v) \cup \{ v \} = N_G [ v ] = N[v]$ — замкнутое окружение вершины $v$. \\\\ + +$\bullet$ \textbf{Степень вершины} $ v ~~~~ deg_G(v) = |N_G(v)|$ равна числу рёбер, выходящих из данной вершины.\\\\ + +Если $V' \subseteq V(G)$, то окружение множества вершин $V'$~ - множество $N_G(V') = \underset{v \in V'}{\cup} N_G(v)$\\\\ + +$\bullet$ Вершина, которая смежна с любой вершиной из $V$ называется \textbf{доминирующей}, то есть $v \in V;~ \forall u \in V \setminus \{v\}, ~ v\sim u $\\\\ + +Если $v \in V$, такая что для любой $u \in V \setminus \{v\}$ $v \sim u$, то $v$ - доминирующая. + +$ \bullet $ \textbf{Доминирующее множество} ~ - множество $U$, такое что для любого $v \in V(G) \setminus \{u\}$ существует $u \in U$, такое что $v \sim u$. + +$ \bullet $ \textbf{Число доминирования} $\gamma(G)$~- мощность наименьшего доминирующего множества.\\ + +$ \bullet $ Если $\deg(v) = 0$, то $v$~-\textbf{ изолированная}.\\ + +$ \bullet $ Если $\deg(v) = 1$, то $v$~- \textbf{висячая} или \textbf{лист}.\\ + +Минимальная степень вершин~ - $\delta(G) \geq 0$.\\ + +Максимальная степень вершин~ - $\Delta(G) \leq n - 1$.\\ + +$ \bullet $ Список степеней, упорядоченный по возрастанию ~- \textbf{\textbf{степенная последовательность}} $\delta = d_1 \leq d_2 \leq \dots \leq d_n \leq \Delta$. + +\textbf{Регулярный/однородный граф} степени $k$~($k$-регулярный)~- граф, такой что $\deg(v) = k$, $v \in V$. При $k = 3$ граф кубический.\\\\ + +$ \bullet $ \textbf{Псевдограф} — граф, который может содержать петли и кратные ребра, кратные петли.\\\\ +$ \bullet $ Мультиграф — граф, который может содержать кратные ребра.\\\\ +$ \bullet $ Если $E⊂V^2$ (составлено из упорядоченных двоек/пар), то граф \textbf{G—ориентированный} (орграф), а его ребра — дуги.\\\\ +Если $ v $ — начало дуги $(v,w)$, то дуга исходит из $v$.\\ +Если $ w $ — конец дуги $(v,w)$, то дуга заходит в $ w $.\\\\ + +$ \bullet $ Количество заходящих дуг — \textbf{полустепень захода} $ deg - w $. \\ + +$ \bullet $ Количество исходящих дуг — \textbf{полустепень исхода} $ deg + v $.\\ +Если в $ E $ существует состоящие из более чем двух вершин $e\{ v,~ w,~ u\}$, то $G$ —\textbf{гиперграф}.\\\\ +Для любого(мульти/псевдо) графа справедлива лемма: +\begin{lemma} Лемма о рукопожатиях:\\ +$ deg(v_1) + deg(v_2)+ \dotso + deg(v_n) = 2m, ~~~ \forall i,~~ v_i\in V. $ +\end{lemma} +\begin{Proof} +Это следует из того, что вклад каждого ребра в левую часть такой же, что и петли в правую часть равенства, равный двум. +\end{Proof} + +\textbf{Следствие}:\\ + Количество вершин нечетных степеней четно.\\\\ +$On$ — пустой граф — граф, состоящий из $ n $ изолированных вершин (нет ребер).\\\\ +$ Kn $ — полный граф — граф, где все вершины попарно смежны: $m=C_n^2$.\\\\ +$ Pn $ —цепь на $ n $ вершинах — граф, у которого $2$ листа, а остальные вершины имеют степень $2$. Длина (см. далее) равна $n-1$.\\\\ +$ Cn $ —цикл на $ n $ вершинах — связный (см. далее) граф, у которого все вершины имеют степень $ 2 $. +$G'=(V',E')$ — подграф графа $G$, если $V'\subseteq V,~~ E\subseteq E'$.\\\\ +$ \bullet $ \textbf{Собственный подграф} — граф $G'$, где $V'⊂V$ и/или $E⊂E'$.\\\\ +Если $V'⊂V(G)$, то \textbf{порожденный (индуцированный) подграф} множества вершин $V' G[V'] =def(V',E')$, где $E'={vu \in E(G) | v, u \in V'}$.\\ +$W\subseteq V(G) \Rightarrow G[V\setminus W]=def G-W$\\ +$F\subseteq E(G) \Rightarrow G+F = (V, E(G)\cup F) \Rightarrow G-F = (V, E(G)\setminus F)$\\ +$V=\{v\} \Rightarrow G - \{v\}$ аналогично $G - v$\\ +$F=\{e\} \Rightarrow G+\{e\}$ аналогично $G + e$\\ +$\Rightarrow G-\{e\}$ аналогично $G - e$\\\\ + +Независимое множество вершин $W\subseteq V(G)$ — $W$, такое что $G[W]$ - пустой. \\ +Мощность максимального $ W $ — число независимостей $ \alpha(G) $.\\ +Клика $W\subseteq V(G)$ — $W$, такое что $G[W]$ - полный.\\ +Мощность максимального $W$ — кликовое число $w(G)$.\\ +$ \bullet $ \textbf{Остов (субграф)} — подграф $G'=(V',E')$, такой что $V'=V(G)$.\\\\ +Пусть $G=(V,E)$ — произвольный подграф.\\ +Реберный граф — $L(G)$, такой что:\\ +1) вершины $L$ — ребра $G$\\ +2) $2$ вершины $ ij $ и $ kl $ принадлежащие $ E(G) $ — смежные, если в $ G~~ ij $ и $ kl $ — смежные.\\ +$ deg(ij) $ в $ L(G)=deg(i) $ в $G + deg(j) $ в $ G – 2 $.\\ +\textbf{Замечание}: порядок $ |L(G)|=m$, если $G(n,m) $.\\\\ +\textbf{Утверждение}: размер $ L(G)=m_L=\frac12 \cdot \sum\limits_{i=1}^n d_i^2 - m $.\\ +\begin{Proof} + Вершина $ i $ в $ G $ имеет степень $ d_i $, то в $ L(G) $ она образует $ C_{d_i}^2 $ ребер, каждая пара ребер—вершина в$ L(G) \Rightarrow m_L=\sum\limits_{i=1}^n C_{d_i}^2 = \frac12 \cdot \sum\limits_{i=1}^n d_i (d_i - 1) $=[по дистрибутивности и лемме о рукопожатиях] =$\frac12 \cdot \sum\limits_{i=1}^n d_i^2 - m $. +\end{Proof} + +\textbf{Следствие}:$ \sum\limits_{i=1}^n d_i^2 = \sum \limits_{ij\in E(G)} (d_i+d_j ) $ — первый индекс Загреба +\begin{Proof} +$ 2m_L=\sum \limits_{ij\in E(G)} d_ij =\sum \limits_{ij\in E(G)} (d_i + d_j - 2) =\sum \limits_{ij\in E(G)} (d_i + d_j ) - 2m $;\\ +$ 2(m_L+m)= \sum \limits_{ij\in E(G)} (d_i+d_j ) $ и $ 2(m_L+m)= \sum \limits_{i=1}^2 d_i^2 $ . +\end{Proof}\\ + +$ \bullet $ \textbf{Помеченный граф} — 1) граф, вершинам или ребрам которого присвоены какие-либо метки (числа, буквы); 2)граф порядка $ n $, если его вершинам присвоить попарно различные номера от $ 1 $ до $ n $.\\ +\begin{theorem} $1$\\ + Количество помеченных графов порядка $ n = 2^{C_n^2 } $. +\end{theorem} +\begin{Proof} + По определению количество ребер в полном графе порядка $ n $ равно числу всевозможных пар вершин равное $ C_n^2 \Rightarrow $ количество всех графов с фиксированным множеством вершин равное числу всех подмножеств множества всевозможных пар вершин = $ 2^{C_n^2} $. +\end{Proof} + + + + \end{document} \ No newline at end of file diff --git "a/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.toc" "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.toc" new file mode 100644 index 0000000..72c9396 --- /dev/null +++ "b/\320\224\320\234\320\270\320\234\320\233 1 \320\272\321\203\321\200\321\201 \320\222. \320\230. \320\221\320\265\320\275\320\265\320\264\320\270\320\272\321\202\320\276\320\262\320\270\321\207/main.toc" @@ -0,0 +1,3 @@ +\babel@toc {russian}{}\relax +\contentsline {chapter}{\numberline {1}Булевы функции}{2}{chapter.1}% +\contentsline {chapter}{\numberline {2}Теория графов}{13}{chapter.2}%