From 9188f061a08972133bdd506e8d5f8a5b48a29c63 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Hajd=C3=BA=20Patrik?= Date: Mon, 9 Feb 2026 13:10:56 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Sz=C3=B6vegez=C3=A9si=20=C3=A9s=20helyes=C3=ADr?= =?UTF-8?q?=C3=A1si=20hib=C3=A1k=20jav=C3=ADt=C3=A1sa?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- README.md | 4 +- docs/for_contributors/index.md | 18 +- docs/for_contributors/showcase.md | 2 +- docs/index.md | 6 +- docs/notes/sem4/computer_graphics/1.md | 234 +++++------ docs/notes/spec/game_theory/exam_notes.md | 458 ++++++++++------------ 6 files changed, 342 insertions(+), 380 deletions(-) diff --git a/README.md b/README.md index 46fceec..099b19f 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -4,8 +4,8 @@ Visit [https://vik-ce-notes.github.io/](https://vik-ce-notes.github.io/) -The notes are based on the official lecture notes and the slides of the hungarian courses. This is a best-effort project, so errors and omissions may occur. If you find any mistakes please contact us so we can make corrections. +The notes are based on the official lecture notes and the slides of the Hungarian courses. This is a best-effort project, so errors and omissions may occur. If you find any mistakes, please contact us so we can make corrections. #### For future contributors -If you want to help us, please start by checking out our [instructions page](https://vik-ce-notes.github.io/for_contributors/index.html) +If you want to help us, please start by checking out our [instructions page](https://vik-ce-notes.github.io/for_contributors/index.html) \ No newline at end of file diff --git a/docs/for_contributors/index.md b/docs/for_contributors/index.md index b4fe64c..364ccb3 100644 --- a/docs/for_contributors/index.md +++ b/docs/for_contributors/index.md @@ -1,25 +1,25 @@ # Jegyzeteléshez ???+ info "Háttértörténet" - Szinte az összes tantárgyhoz készült jegyzet$^*$, amik egy privát GitHub repositoryba lettek feltéve. Ezek mind [markdownban](https://en.wikipedia.org/wiki/Markdown) készültek egy bizonyos flavor-rel és egész jól szerepeltek számonkérések során. A repo-nak a megosztása azonban több problémába is ütközött, ezért jött létre egy nyílt alternatíva, ami remélhetőleg több VIK-es hallgató tanulmányait is elősegítheti. + Szinte az összes tantárgyhoz készült jegyzet$^*$, amik egy privát GitHub repositoryba lettek feltéve. Ezek mind [Markdownban](https://en.wikipedia.org/wiki/Markdown) készültek egy bizonyos flavor-rel és egész jól szerepeltek számonkérések során. A repónak a megosztása azonban több problémába is ütközött, ezért jött létre egy nyílt alternatíva, ami remélhetőleg több VIK-es hallgató tanulmányait is elősegítheti. -

*: A specializációnál ezt már nehezebb volt tartani, ott a szoftverfejlesztés ágazat specifikus tárgyai lettek tárgyalva

+

*: A specializációnál ezt már nehezebb volt tartani, ott a szoftverfejlesztés ágazatspecifikus tárgyai lettek tárgyalva

## Új jegyzet feltöltése #### Szerkesztés -Alapvetően a Visual Studio Code-hoz készült [Markdown Preview Enhanced](https://marketplace.visualstudio.com/items?itemName=shd101wyy.markdown-preview-enhanced) kiegészítőt használtuk jegyzetek készítésére, ezért az oldalt is igyekeztünk úgy létrehozni, hogy támogassa minden funkcióját. Ezt a [showcase](./showcase.md) odalon részletesebben is megnézheted. +Alapvetően a Visual Studio Code-hoz készült [Markdown Preview Enhanced](https://marketplace.visualstudio.com/items?itemName=shd101wyy.markdown-preview-enhanced) kiegészítőt használtuk jegyzetek készítésére, ezért az oldalt is igyekeztünk úgy létrehozni, hogy támogassa minden funkcióját. Ezt a [showcase](./showcase.md) oldalon részletesebben is megnézheted. Vagyis elegendő ezt a kiegészítőt használni a `docs` mappán belül, ha csak dokumentációs céljaid vannak. Természetesen azt is szeretnénk, hogy az általad készített dokumentumok elérhetőek legyenek, ezért a gyökérmappában a `mkdocs.yaml` fájlban, a `nav` tulajdonságban fel kell venned a dokumentumaid nevét és elérési módját. #### Feltöltés -Ahhoz, hogy a dokumentumaid / javításaid megoszd másokkal az alábbi lépéseket javasoljuk: +Ahhoz, hogy a dokumentumaidat / javításaidat megoszd másokkal, az alábbi lépéseket javasoljuk: **For contributors:** 1. Klónozd le a repository-t ```bash - git clone https://github.com/VIK-CE-Notes/vik-ce-notes.github.io + git clone [https://github.com/VIK-CE-Notes/vik-ce-notes.github.io](https://github.com/VIK-CE-Notes/vik-ce-notes.github.io) ``` 2. Végezd el a változtatásokat 3. Egy új branch-en töltsd fel @@ -40,12 +40,12 @@ Ahhoz, hogy a dokumentumaid / javításaid megoszd másokkal az alábbi lépése ## Az oldal formálása -#### Python környezet használata -Amennyiben nagyobb változtatást szeretnél eszközölni (például új diagram típus támogatása), akkor már valószínűleg szükséged lesz a python környezet használatára. +#### Python-környezet használata +Amennyiben nagyobb változtatást szeretnél eszközölni (például új diagramtípus támogatása), akkor már valószínűleg szükséged lesz a Python-környezet használatára. A projekt [MkDocs](https://www.mkdocs.org/)-ra épül, a témája [Material for MkDocs](https://squidfunk.github.io/mkdocs-material/) és Python `3.11`-es verziót használ. Kezdetként az alábbi lépéseket tudom ajánlani: ```bash -git clone https://github.com/VIK-CE-Notes/vik-ce-notes.github.io +git clone [https://github.com/VIK-CE-Notes/vik-ce-notes.github.io](https://github.com/VIK-CE-Notes/vik-ce-notes.github.io) cd vik-ce-notes.github.io # itt hozhatsz létre virtuális környezetet @@ -54,4 +54,4 @@ pip install -r requirements.txt mkdocs serve ``` -Mostmár a [http://127.0.0.1:8000](http://127.0.0.1:8000) url-en el is érheted az oldalt. +Mostmár a [http://127.0.0.1:8000](http://127.0.0.1:8000) url-en el is érheted az oldalt. \ No newline at end of file diff --git a/docs/for_contributors/showcase.md b/docs/for_contributors/showcase.md index 22da60f..8c266b7 100644 --- a/docs/for_contributors/showcase.md +++ b/docs/for_contributors/showcase.md @@ -1,6 +1,6 @@ # Showcase -Itt láthatod, hogy hogyan jelenik meg egy Markdown fájl tartalma. *(A dokumentum a repository-ban a `doc/for_contributors/showcase.md` útvonalon érhető el.)* +Itt láthatod, hogy hogyan jelenik meg egy Markdown fájl tartalma. *(A dokumentum a repository-ban a `docs/for_contributors/showcase.md` útvonalon érhető el.)* --- diff --git a/docs/index.md b/docs/index.md index 7c8293d..263626b 100644 --- a/docs/index.md +++ b/docs/index.md @@ -10,7 +10,7 @@ Kellemes informálódást! --- -??? warning A jegyzetek teljességéről - Ez egy best-effort projekt, az összes erőfeszítésünk ellenére tévedések és elírások előfordulhatnak. Amennyiben ilyennel találkozol kérlek jelezd nekünk issue-ban vagy javítsad ki az útmutató alapján. +??? warning "A jegyzetek teljességéről" + Ez egy best-effort projekt, az összes erőfeszítésünk ellenére tévedések és elírások előfordulhatnak. Amennyiben ilyennel találkozol, kérlek, jelezd nekünk issue-ban vagy javítsd ki az útmutató alapján. - Előre is köszönjük :heart: + Előre is köszönjük :heart: \ No newline at end of file diff --git a/docs/notes/sem4/computer_graphics/1.md b/docs/notes/sem4/computer_graphics/1.md index 184703b..fbcf396 100644 --- a/docs/notes/sem4/computer_graphics/1.md +++ b/docs/notes/sem4/computer_graphics/1.md @@ -1,62 +1,60 @@ # Geometriák és algebrák: > A geometriák különböző axiómákra épülnek. -> Például az Euklidészi síkgeometriában az egyik legfontosabb, hogy egy egyenesre egy külső pontból legfeljebb 1 olyan egyenes húzható, ami nem metszi *(ez a párhuzamos)* +> Például az euklideszi síkgeometriában az egyik legfontosabb, hogy egy egyenesre egy külső pontból legfeljebb 1 olyan egyenes húzható, ami nem metszi azt *(ez a párhuzamos)*. - Ezeknek az axiómáknak a megváltoztatása különböző eredményekhez vezethet. Például a háromszög szögeinek összege mindig: - - Hiperbolikus geometriában: $< 180°$ - - Euklidészi geometriában: $180°$ - - Gömbi geometriában: $> 180°$ + - A hiperbolikus geometriában: $< 180°$ + - Az euklideszi geometriában: $180°$ + - A gömbi geometriában: $> 180°$ ## Görbület -- **Görbék görbülete:** - - Egy adott pontra az alábbi két definíció egyikét használhatjuk: +- **Görbék görbülete:** - Egy adott pontban az alábbi két definíció egyikét használhatjuk: - A görbület az egysebességű centripetális gyorsulás ($a_{cp} = \frac{v^2}{R}$, egysebességű = a sebesség nagysága állandó) - A simuló kör sugarának reciproka - ![](./img/1_gorbulet.png) - *($\kappa = \frac{1}{r} = \frac{v^2}{r}$)* -- **Gauss görbület:** +- **Gauss-görbület:** - Egy felület (mondjuk henger) görbületét szeretnénk meghatározni egy adott pontban. *(Ebben a pontban a felületnek van egy normálvektora, ami merőleges a felület síkjára)*. - - Ekkor az alakzatot a felvághatjuk síkokkal *(amik a pontot metszik és a normálvektorral párhuzamosak)* - - Azek a síkok bármerre állhatnak és a felületet ahogy metszik, úgy egy görbét határoznak meg. - Az így kapott görbék közül van 2, ahol az egyiknél minimális a görbület, a másiknál maximális. Ezek a metszési irányok egymásra merőlegesek *(ezek a principális / főgörbületi irányok)* - - Az itt található görbületek szorzata a Gauss-görbület + - Ekkor az alakzatot felvághatjuk síkokkal *(amik a pontot metszik és a normálvektorral párhuzamosak)*. + - Ezek a síkok bármerre állhatnak, és ahogy a felületet metszik, egy görbét határoznak meg. + Az így kapott görbék közül van 2, ahol az egyiknél minimális a görbület, a másiknál maximális. Ezek a metszési irányok egymásra merőlegesek *(ezek a principális / főgörbületi irányok)*. + - Az itt található görbületek szorzata a Gauss-görbület. - ![](./img/1_gauss_gorbulet.png) - [*Részletesebben*](https://youtu.be/0ZV4TjgI424?t=621) -*(a diasorokon voltak még további alakzatok, ezeken érdemes ezt végig gondolni, a legfontosabb, hogy a normállal mindig párhuzamosak ezek a metszések)* +*(A diasorokon voltak még további alakzatok, ezeken érdemes ezt végiggondolni; a legfontosabb, hogy a normálvektorral mindig párhuzamosak ezek a metszések.)* ## Gömbi geometria - Gömb egyenlete: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = \frac{1}{K}$ -- Itt a görbület állandóan pozitív, az egyenesek is görbék +- Itt a görbület állandóan pozitív, az egyenesek is görbék. - Fontos változás: - - Két pont nem mindig határoz meg egy egyenest egyértelműen - - Két egyenes mindig 2 pontban metszi egymást - - Itt 0 darab nem metsző egyenes van (még a párhuzamosok is metszik egymást) -- **Főkör:** 2 pont és a gömb közepe meghatároz egy síkot. A kör, ami a sík és gömb metszésével jön létre a főkör -*(Nem mindig lehet egyértelműen meghatározni, pl. Északi sark, Déli sark, Origó pontokkal végtelensok sík van)* -- Gömbi geometriában a legrövidebb út két pont között mindig a főkörön van -- **Elliptikus geometria:** olyan geometria, ahol az átellenes pontok egynek számítanak + - Két pont nem mindig határoz meg egy egyenest egyértelműen. + - Két egyenes mindig 2 pontban metszi egymást. + - Itt 0 darab nem metsző egyenes van (még a párhuzamosok is metszik egymást). +- **Főkör:** 2 pont és a gömb középpontja meghatároz egy síkot. A kör, ami a sík és gömb metszésével jön létre, a főkör. +*(Nem mindig lehet egyértelműen meghatározni, pl. Északi-sark, Déli-sark, Origó pontokkal végtelen sok sík van.)* +- A gömbi geometriában a legrövidebb út két pont között mindig a főkörön van. +- **Elliptikus geometria:** olyan geometria, ahol az átellenes pontok azonosnak számítanak. - **Gömbök vetítése:** ![](./img/1_vetites.png) 1. Középpontos vetítés: - - csak a felső gömböt - - egyenes tartó - - nem kör, szög és távoltástartó + - csak a félgömböt + - egyenestartó + - nem körtartó, nem szögtartó és nem távolságtartó 2. Sztereografikus vetítés: - - a déli pólus kivételével mindent + - a Déli-sark kivételével mindent - nem egyenestartó - - kör és szögtartó, de nem távolságtartó + - kör- és szögtartó, de nem távolságtartó -- **Mercator térkép:** hengerre vetít a gömb középpontból, de emiatt megnyúlik. +- **Mercator-térkép:** hengerre vetít a gömb középpontjából, de emiatt megnyúlik. - Szögtartó - Nem távolságtartó - **Számolások gömbi geometriánál:** - - A görbület: $\kappa = 1/R^2$ - - Távolság: $R \theta = \theta / \sqrt{\kappa}$ + - A görbület: $\kappa = 1/R^2$ - Távolság: $R \theta = \theta / \sqrt{\kappa}$ *(ez egy körív, ahol 2 pont között $\theta$ szög van - radiánban)* - Kör kerülete: ![](./img/1_kerulet.png) @@ -67,147 +65,143 @@ ## Hiperbolikus geometria - Hiperboloid egyenlete: $x^2 + y^2 - z^2 = -R^2 = \frac{1}{\kappa}$ - *Ez levezethető komplex számmal is $(iR)^2$* -- Itt a görbület állandóan negetív +- Itt a görbület állandóan negatív. - Fontos változások: - - Egy egyenesre egy külső ponból több nem metsző egyenes húzható + - Egy egyenesre egy külső pontból több nem metsző egyenes húzható. - Hiperbolikus terek vetítése egy diszkre: ![](./img/1_hiberbolikus.png) - *Emlékeztető a 3. háziból - 2 kör merőleges:* ![](./img/1_hazi_help.png) -### Minkowski tér -- A háromdimenziós teret kiterjesztjük egy negyedik dimenzióval, ami az idő -- Itt nem pontok, hanem események vannak jelen - - *Mert ugyanaz a hely szerepelhet kétszer, de különböző időpontokban más-más esemény közben van* -- Ebben a rendszerben a távolságot úgy kell érteni, hogy $x_1$ helyről $t$ idő alatt egy hatás elér-e egy $x_2$ helyre +### Minkowski-tér +- A háromdimenziós teret kiterjesztjük egy negyedik dimenzióval, ami az idő. +- Itt nem pontok, hanem események vannak jelen. + - *Mert ugyanaz a hely szerepelhet kétszer, de különböző időpontokban más-más esemény közben van.* +- Ebben a rendszerben a távolságot úgy kell érteni, hogy $x_1$ helyről $t$ idő alatt egy hatás elér-e egy $x_2$ helyre. #### Projektív geometria -> a GPU mindegyik geometriát támogatja, de projektív geometriában gondolkodik +> A GPU mindegyik geometriát támogatja, de projektív geometriában gondolkodik. -- Euklideszi geometriában nem beszélhetünk végtelenről, viszont a projektív geometriában létezik. +- Az euklideszi geometriában nem beszélhetünk végtelenről, viszont a projektív geometriában létezik. - Fontos változás: - - Itt két egyenes pontosan egy pontban metszi egymást - *(vagy 1 pontban metszenek, vagy a végtelenben. Ha azon gondolkodnál, hogy de balra és jobbra is van végtelen, az ne aggasszon, mert az a pont jobbra és balra ugyanaz a végtelen)* -- *Ez a rendszer nem metrikus, mert nem lehet pl. távolságról beszélni, hiszen ha a végtelen is része, akkor ami végtelen távol van, azt nem lehet számításba venni* -- Nincsenek olyan koordináta rendszerek, amik távolságokat használnak *(fentebb említett ok miatt)* - Vagyis Descartes és Polár koordinátarendszerek nem használhatók + - Itt két egyenes pontosan egy pontban metszi egymást. + *(Vagy 1 pontban metszik egymást, vagy a végtelenben. Ha azon gondolkodnál, hogy de balra és jobbra is van végtelen, az ne aggasszon, mert az a pont jobbra és balra ugyanaz a végtelen.)* +- *Ez a rendszer nem metrikus, mert nem lehet pl. távolságról beszélni, hiszen ha a végtelen is része, akkor ami végtelen távol van, azt nem lehet számításba venni.* +- Nincsenek olyan koordinátarendszerek, amik távolságokat használnak *(fentebb említett ok miatt)* - Vagyis Descartes- és polárkoordináta-rendszerek nem használhatók. - ![](./img/1_idealis_pont.png) - - Itt a zöld és a piros pontok az **ideális pontok** ahol az egyenesek metszenék egymást. + - Itt a zöld és a piros pontok az **ideális pontok**, ahol az egyenesek metszenék egymást. Mivel a geometriánkban végtelen sok egyenes lehet, ezért a piros és zöld pontok között végtelen sok ideális pont lehet még. -- *Ha átgondoljuk, hogy van végtelen sok ideális pont, amik jobbra és balra nézve is önmaguk képviselik, akkor láthatjuk, hogy ez egy elliptikus geometria (fogalma fentebb) csak szög és távolság fogalom nélkül* +- *Ha átgondoljuk, hogy van végtelen sok ideális pont, amik jobbra és balra nézve is önmagukat képviselik, akkor láthatjuk, hogy ez egy elliptikus geometria (fogalma fentebb) csak szög és távolság fogalom nélkül.* ## Síkgeometria -- 2 dimenzióról beszélünk ($x$,$y$ koordinátákkal), amihez felveszünk egy harmadik tulajdonságot ($w$-t). Így képesek vagyunk Euklideszi és Projektív geometriát is mejeleníteni. +- 2 dimenzióról beszélünk ($x$, $y$ koordinátákkal), amihez felveszünk egy harmadik tulajdonságot ($w$-t). Így képesek vagyunk euklideszi és projektív geometriát is megjeleníteni. - Projektív esetben mondjuk azt, hogy csak az egyenes, ami átmegy az origón. ![](./img/1_projektiv.png) Vagyis akkor van egy bizonyos végtelen pontunk, ahol minden egyenes találkozik. - Ekkor minden pont végtelen távoli, ahol $w$ = 0, hiszen bármely egyenes, ami rajtuk átmegy, az az origón is. Vagyis az egyenesük párhuzamos lesz a (kék) síkkal, amit látunk. -- Ambiens tér ([ambient space](https://en.wikipedia.org/wiki/Ambient_space_(mathematics))): egy olyan tér, ami valamilyen objektumot körbevesz + Ekkor minden pont végtelen távoli, ahol $w = 0$, hiszen bármely egyenes, ami rajtuk átmegy, az az origón is átmegy. Vagyis az egyenesük párhuzamos lesz a (kék) síkkal, amit látunk. +- Ambiens tér ([ambient space](https://en.wikipedia.org/wiki/Ambient_space_(mathematics))): egy olyan tér, ami valamilyen objektumot körbevesz. - Ezek a befoglaló terek nekünk az ábrázolást segítik. Ezért az ambiens vektorokat képesnek kell lennünk összeadni és skálázni. - Ebből következik, hogy $w=0$ a vektoroknál és $w=1$ a pontoknál (egyéb $w$-k se nem pontok, se nem vektorok). - **Skaláris szorzás:** - $a_1 \cdot a_2 = |a_1| |a_2| \cos(\alpha)$ - Euklideszi geometriában: $a_1 \cdot a_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ - - Nem asszociatív művelet (számít a szorzások sorrendje) + - Nem asszociatív művelet (számít a szorzások sorrendje): $(u \cdot v) \cdot w \neq u \cdot (v \cdot w)$ -- **Vektoriális szorzás (kereszt szorzás):** +- **Vektoriális szorzás (keresztszorzás):** - $|a_1 \times a_2 | = |a_1| |a_2| \sin(\theta)$ - $c_x = a_y b_z - a_z b_y$ $c_y = a_z b_x - a_x b_z$ $c_z = a_x b_y - a_y b_x$ - - Ez sem asszociatív + - Ez sem asszociatív. - **Vektorok tulajdonságai:** - - Két pont különbsége vektor - - Az ambiens térnek elemei $[x,y,0]$ + - Két pont különbsége vektor. + - Az ambiens térnek elemei $[x,y,0]$. - Hossz: $|v| = \sqrt{v \cdot v}$ - - Merőlegesség: $u \perp v$ ha $u \cdot v = 0$ - - Minden vektorra végtelensok merőleges van $\lambda [y, -x, 0]$ - - Párhuzamosság: $u \parallel v$ ha $u = \lambda v$ - - Minden vektorra végtelensok párhuzamos van $\lambda [x, y, 0]$ + - Merőlegesség: $u \perp v$, ha $u \cdot v = 0$ + - Minden vektorra végtelen sok merőleges van $\lambda [y, -x, 0]$. + - Párhuzamosság: $u \parallel v$, ha $u = \lambda v$ + - Minden vektorra végtelen sok párhuzamos van $\lambda [x, y, 0]$. - **Egyenesek:** - - Parametrikus egynlet: $r(t) = p + vt$ - *(vagyis p pontból t ideje indultunk el v vektorrala - ha végig gondolod ez valóban pontok gyűjteménye, hiszen $w=1$ mindig)* + - Parametrikus egyenlet: $r(t) = p + vt$ + *(Vagyis $p$ pontból $t$ ideje indultunk el $v$ vektorral - ha végiggondolod, ez valóban pontok gyűjteménye, hiszen $w=1$ mindig.)* - Implicit egyenlet: $n \cdot (r - p) = 0$ - - Ahol $r$ egyenest határozzuk meg $p$ pontja és $n$ normálvektora segítségével + - Ahol $r$ egyenest határozzuk meg $p$ pontja és $n$ normálvektora segítségével. $r(x,y) \Rightarrow [n_x, n_y, 0] \cdot [x - p_x, y - p_y, 0] = 0$ Vagyis: $n_x x + n_y y + d = 0$ - - Ha $r$ helyére behelyettesítünk, akkor könnyen eldönthetjük, hogy egy pont rajta van-e - *(egyébként pont azért implicit egyenlet, mert az r egyenest nem fejezzük ki explicit)* + - Ha $r$ helyére behelyettesítünk, akkor könnyen eldönthetjük, hogy egy pont rajta van-e. + *(Egyébként pont azért implicit egyenlet, mert az $r$ egyenest nem fejezzük ki expliciten.)* ## Térgeometria -- A cél, hogy minden legyen ugyanolyan mint a síknál, csak mostmár egyel magasabb dimenzióban -- vektor: $[x,y,z,0]$, pont: $[x,y,z,1]$ -- a korábban megbeszélt műveletek nem válltoznak -- az egynes egynletek továbbra is megmaradnak -- **Sík egyenlete:** - - Explicit: $r(u,v) = p + au + bv \qquad$ (ahol $a, b$ nem párhuzamos vektorok) +- A cél, hogy minden legyen ugyanolyan, mint a síknál, csak most már eggyel magasabb dimenzióban. +- Vektor: $[x,y,z,0]$, pont: $[x,y,z,1]$. +- A korábban megbeszélt műveletek nem változnak. +- Az egyenes egyenletek továbbra is megmaradnak. +- **Sík egyenlete:** - Explicit: $r(u,v) = p + au + bv \qquad$ (ahol $a, b$ nem párhuzamos vektorok) - Implicit: $n \cdot (r-p) = 0 \qquad \qquad$ (ahol $n$ normálvektor merőleges $a, b$ vektorokra) Vagyis: $n_x x + n_y y + n_z z + d = 0$ ## Homogén koordináták -- Homogén koordináták: ahol +1 dimenzióban megadunk egy értéket ami jelöli, hogy ideális pontról beszélünk-e -- Ezt valamennyire láttuk, a fontos különbség, hogy a $w$ távolság jelölést is segíti nekünk +- Homogén koordináták: ahol +1 dimenzióban megadunk egy értéket, ami jelöli, hogy ideális pontról beszélünk-e. +- Ezt valamennyire láttuk, a fontos különbség, hogy a $w$ a távolság jelölését is segíti nekünk. - $[2x,2y,1] = [x,y,\frac{1}{2}]$ - mert ha osztjuk a $w$ koordinátájával, akkor $[x,y,\frac{1}{2}] / \frac{1}{2} = [2x,2y,1]$ + mert ha osztjuk a $w$ koordinátájával, akkor $[x,y,\frac{1}{2}] / \frac{1}{2} = [2x,2y,1]$. - Az egyenes implicit egyenlete: - $[X(t),Y(t),w(t)] = [X_1,Y_1,w_1](1-t) + [X_2, Y_2,w_2] \cdot t$ - - Ez 2 különböző pontból segít meghatározni az egyenest - - *De mégis miért jobb ez? Mert ez magától kezeli a végtelen pontokat a Descartes koordinátákkal szemben* + - Ez 2 különböző pontból segít meghatározni az egyenest. + - *De mégis miért jobb ez? Mert ez magától kezeli a végtelen pontokat a Descartes-koordinátákkal szemben.* $n_x X / w + n_y Y / w + d = 0 \qquad w \neq 0$ $n_x X + n_y Y + dw = 0\qquad w \neq 0$ -- Hogyan csináljunk Euklidésziből homogént: - - Fogjuk a pontokat és mindenhol kibővítjük a pontok koordinátáit $w = 1$-el. +- Hogyan csináljunk euklidesziből homogént: + - Fogjuk a pontokat, és mindenhol kibővítjük a pontok koordinátáit $w = 1$-gyel. --- # Kvíz -> 1\. Milyen messze van az $(-5, 4)$ pont a $3x + 4y + 5 = 0$ implicit egyenletű egyenestől +> 1\. Milyen messze van a $(-5, 4)$ pont a $3x + 4y + 5 = 0$ implicit egyenletű egyenestől? -**Középiskolában tanultakkal megoldható:** -*(ha van gyorsabb megoldás javítsátok)* +**Középiskolában tanultakkal megoldható:** *(Ha van gyorsabb megoldás, javítsátok.)* -1. Egyenesre normálvektort állítasz +1. Egyenesre normálvektort állítasz: $(3, 4) \Rightarrow (4, -3)$ -2. Normálvektorral új egyenes, ami átmegy a ponton +2. Normálvektorral új egyenes, ami átmegy a ponton: $4 * (-5) + (-3) * 4 + d = 0$ $d = 32 \Rightarrow 4x -3y + 32 = 0$ -3. Az egyenesek metszéspontjának megtalálása +3. Az egyenesek metszéspontjának megtalálása: $4x -3y + 32 = 0 \text{ és } 3x + 4y + 5 = 0$ -*(Mondjuk hozzáadom $\frac{3}{4}$-szer az másodikat az elsőhöz, de sok jó út van)* +*(Mondjuk hozzáadom $\frac{3}{4}$-szer a másodikat az elsőhöz, de sok jó út van.)* $\frac{25}{4} x + \frac{133}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{-143}{25}$ $\Rightarrow y = \frac{76}{25}$ -4. Metszés pont és eredeti pont távolságának kiszámítása +4. Metszéspont és eredeti pont távolságának kiszámítása: $d = \sqrt{(((-5) - (\frac{-143}{25}))^2 + (4 - \frac{76}{25})^2)} = 1.2$ -**Alternatív megoldás:** - -- képletet használunk $d = n \cdot (r-p)$, ahol $r$ az egyenes és $n$ egység hosszú - 1. a normálvektort egységhosszúvá tesszük +**Alternatív megoldás:** - Képletet használunk $d = n \cdot (r-p)$, ahol $r$ az egyenes és $n$ egység hosszú. + 1. A normálvektort egységhosszúvá tesszük: $n = (3, 4) \Rightarrow n = \frac{(3, 4)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ - *(figyeljünk, implicit egyenletnél a koordináta sorrendre)* + *(Figyeljünk implicit egyenletnél a koordinátasorrendre!)* - 2. az $r-p$ kivonást elvégzzük: *(ez egy vektor r és p között)* - A számításához használhatjuk az $r$ bármely pontját *(én az x=0 pontot választottam)* + 2. Az $r-p$ kivonást elvégezzük *(ez egy vektor $r$ és $p$ között)*: + A számításához használhatjuk az $r$ bármely pontját *(én az x=0 pontot választottam)*: $R = (0, \frac{-5}{4})$ Ekkor $r - p = (0, \frac{-5}{4}) - (-5, 4) = (5, -\frac{21}{4})$ - 3. elvégezzük a skaláris szorzást: - $n \cdot (r-p) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) \cdot (5, -\frac{21}{4}) = \frac{3}{5} * 5 + \frac{4}{5} * -\frac{21}{4} = 3 - \frac{21}{5} = -1.2$ + 3. Elvégezzük a skaláris szorzást: + $n \cdot (r-p) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) \cdot (5, -\frac{21}{4}) = \frac{3}{5} * 5 + \frac{4}{5} * -\frac{21}{4} = 3 - \frac{21}{5} = -1.2$ 4. De miért negatív? - Ez egy előjeles távolság, szóval függ attól, hogy a p pont az egyenes melyik oldalán van - Vagyis, ha abszolútértékkel használjuk, akkor helyes megoldást kapunk + Ez egy előjeles távolság, szóval függ attól, hogy a $p$ pont az egyenes melyik oldalán van. + Vagyis, ha abszolút értékkel használjuk, akkor helyes megoldást kapunk: $|-1.2| = 1.2$ :cake: -[(a képlet kb így jön ki)](https://brilliant.org/wiki/dot-product-distance-between-point-and-a-line/) +[(a képlet kb. így jön ki)](https://brilliant.org/wiki/dot-product-distance-between-point-and-a-line/) --- -> 2\. Tekintsünk 2 várost "A"-t és "B"-t az északi szélesség (lattitude) 45 fokán. Az "A" város keleti hosszúsága 165 fok, a "B" város keleti hosszúsága 50 fok. -> Mekkora az A és B város távolsága km-ben, ha a föld sugarát 6000 km-nek vesszük? +> 2\. Tekintsünk 2 várost, "A"-t és "B"-t az északi szélesség (latitude) 45. fokán. Az "A" város keleti hosszúsága 165 fok, a "B" város keleti hosszúsága 50 fok. +> Mekkora az A és B város távolsága km-ben, ha a Föld sugarát 6000 km-nek vesszük? -*(Ilyenkor nem használhatjuk a Távolság: $R \theta$ képletet direktben, mert x és y tengelyen is van bezárt szög és ezért vagy a sugár méretét kéne arányosítani, vagy a szöget kéne újraszámolni)* +*(Ilyenkor nem használhatjuk a Távolság: $R \theta$ képletet direktben, mert $x$ és $y$ tengelyen is van bezárt szög, és ezért vagy a sugár méretét kéne arányosítani, vagy a szöget kéne újraszámolni.)* -Keressük tehát azt a $\theta$ szöget, melyet a A és B *(pontosabban a beléjük húzott sugarak)* bezárnak a rajtuk átmenő főkörön. +Keressük tehát azt a $\theta$ szöget, melyet az A és B *(pontosabban a beléjük húzott sugarak)* bezárnak a rajtuk átmenő főkörön.
@@ -218,29 +212,19 @@ Keressük tehát azt a $\theta$ szöget, melyet a A és B *(pontosabban a beléj Ellenőrzésre és általános esetre [script](./code/dist.py). - - --- -> 3\. A gömbi geometriánk Gauss görbülete $0.8$. Mekkora a $0.2$ sugarú kör kerülete ebben a geometriában? +> 3\. A gömbi geometriánk Gauss-görbülete $0.8$. Mekkora a $0.2$ sugarú kör kerülete ebben a geometriában? -1. Gauss görbületből a gömb sugara: +1. Gauss-görbületből a gömb sugara: $K = 1/R^2 \Rightarrow R = 1 / \sqrt{K} = 1 / \sqrt{0.8} \approx 1.12$ -2. A kör sugara most a gömbön található egyenesben mérve van megadva. *(a korábbi ábrán ez volt $r$)* +2. A kör sugara most a gömbön található egyenesben mérve van megadva *(a korábbi ábrán ez volt $r$)*. $r = R * \theta \Rightarrow \theta = 0.2 / 1.12 \approx 0.18$ 3. A kör kerülete pedig: $2 \pi R \sin(\theta) = 2 \pi * 1.12 * \sin(0.18) = 1.2499$ -*(ha pontos értékekkel számolunk, ha kerekítve, akkor 1.26 kb)* +*(Ha pontos értékekkel számolunk; ha kerekítve, akkor 1.26 kb.)* --- -> 4\. Egy pont koordinátái a t idő alábbi függvényei: x(t) = t*t, y(t) = 1/t mekkora a mozgás sebességének a négyzete 1 sec-ben? +> 4\. Egy pont koordinátái a $t$ idő alábbi függvényei: $x(t) = t*t$, $y(t) = 1/t$. Mekkora a mozgás sebességének a négyzete 1 sec-ben? 1. A sebesség a mozgás idő szerinti első deriváltja: $x'(t) = 2t \qquad y'(t) = -1 / t^2$ @@ -253,17 +237,17 @@ $\sqrt{5}^2 = 5$ --- > 5\. Asszociatív műveletek: -> (x * y) * z = x * (y * z) +> $(x * y) * z = x * (y * z)$ - Komplex számok szorzata - Duális számok szorzata - Mátrixok szorzata - Vektorok elemenkénti szorzata -*(ez csak arra ment ki, hogy a vekoriális és a skaláris szorzás ne asszociatív)* +*(Ez csak arra ment ki, hogy a vektoriális és a skaláris szorzás nem asszociatív.)* --- > 10\. Kommutatív műveletek: -> a * b = b * a +> $a * b = b * a$ - Komplex számok szorzata - Duális számok szorzata @@ -271,33 +255,33 @@ $\sqrt{5}^2 = 5$ - Vektorok elemenkénti szorzata --- -> 6\. Mi igaz Euklideszi geometriában +> 6\. Mi igaz az euklideszi geometriában? -- sinh(3x + 4y + 5) = 0 egy egynes *(valóban az)* -- 3x + 4y + 5 = 0 egyenesre merőleges a 4x -3y + 5 = 0 -- 3x + 4y + 5 = 0 egyenes megegyezik a -3x -4y - 5 = 0-tel -- 3x + 4y + 5 = 0 egyenes párhuzamos a 9x 3y + 5 = 0-tel *(ráadásul meg is egyeznek)* +- $\sinh(3x + 4y + 5) = 0$ egy egyenes. *(Valóban az.)* +- $3x + 4y + 5 = 0$ egyenesre merőleges a $4x -3y + 5 = 0$. +- $3x + 4y + 5 = 0$ egyenes megegyezik a $-3x -4y - 5 = 0$-val. +- $3x + 4y + 5 = 0$ egyenes párhuzamos a $9x + 12y + 5 = 0$-val. *(Ráadásul meg is egyeznek - javítva a 9x 3y elírást)*. --- -> 7\. Milyen műveleti eredmények értelmezhetők Euklideszi geometriában? +> 7\. Milyen műveleti eredmények értelmezhetők az euklideszi geometriában? -- Két pont kombinációja *(ha jól gondolom, ez egy egyenes)* +- Két pont konvex kombinációja *(ha jól gondolom, ez egy egyenes)* - Két vektor kombinációja - Két vektor összege - Vektor szorzása számmal - Pont és vektor összege -*(pont szorzása vektorral és két pont összege pedig nem létező műveletek)* +*(Pont szorzása vektorral és két pont összege pedig nem létező műveletek.)* --- -> 8-9\. Mi igaz a geometriákra +> 8-9\. Mi igaz a geometriákra? | | Gömbi | Hiperbolikus | | - | ----- | ------------ | | A sík görbülete | Pozitív | Negatív | | Egyenes a 2 pont közti legrövidebb út | igaz | igaz | | Háromszög szögeinek összege | > 180° | < 180° | -| A pitagorasz tétel | nem igaz | nem igaz | +| A Pitagorasz-tétel | nem igaz | nem igaz | | Egyéb | Két különböző egyenes 2 pontban metszi egymást | 1 egyenesre 1-nél több nem metsző egyenes van | [Következő](2.md) \ No newline at end of file diff --git a/docs/notes/spec/game_theory/exam_notes.md b/docs/notes/spec/game_theory/exam_notes.md index bfabad3..e902c25 100644 --- a/docs/notes/spec/game_theory/exam_notes.md +++ b/docs/notes/spec/game_theory/exam_notes.md @@ -1,43 +1,42 @@ -## 1. Kombinatorikus játék fogalma, éles játék, betli játék, nyerő stratégia. Irányított gráf magja, mag egyértelműsége DAG-ban. Játékok, ill. pozíciók típusa +# 1. Kombinatorikus játék fogalma, éles játék, betli játék, nyerő stratégia. Irányított gráf magja, mag egyértelműsége DAG-ban. Játékok, ill. pozíciók típusa ### Kombinatorikus játék -- **Kétszemélyes** és **szekvenciális**: a két játékos felváltva lép -- Adott egy (V, E) irányított gráf. V a lehetséges pozíciók (esetleg végtelen) halmaza. Egy pontból kiinduló élek a lehetséges lépéseknek felelnek meg. Teljesítenie kell a következőket: -- **A játék végesfokú:** gráfban minden pont kifoka véges; -- **A játék véges:** nincs végtelen hosszú irányított séta a gráfban. -- Általában adott egy p0 kezdőállás is, ami lehet egy konkrét állás (mint a sakknál) vagy egy tetszőleges V -beli állás, a játék paramétereként. +- **Kétszemélyes** és **szekvenciális**: a két játékos felváltva lép. +- Adott egy $(V, E)$ irányított gráf. $V$ a lehetséges pozíciók (esetleg végtelen) halmaza. Egy pontból kiinduló élek a lehetséges lépéseknek felelnek meg. Teljesítenie kell a következőket: + - **A játék végesfokú:** a gráfban minden pont kifoka véges; + - **A játék véges:** nincs végtelen hosszú irányított séta a gráfban. +- Általában adott egy $p_0$ kezdőállás is, ami lehet egy konkrét állás (mint a sakknál) vagy egy tetszőleges $V$-beli állás, a játék paramétereként. - A játéknak kétféle kimenetele van: -- Nyer-veszt -- Döntetlen + - Nyer-veszt + - Döntetlen - Nyelő típusok: -- $N_W$:Nyerő nyelő(utolsó lépő nyert) -- $N_T$: Döntetlen -- $N_L$: Vesztő nyelő(utolsó lépő veszt) + - $N_W$: Nyerő nyelő (az utolsó lépő nyert) + - $N_T$: Döntetlen + - $N_L$: Vesztő nyelő (az utolsó lépő veszt) -- Játék típusok -- **Éles**: ha minden nyelő P típusú -- **betli**: ha mindegyik N típusú +### Játéktípusok +- **Éles**: ha minden nyelő $P$ típusú (azaz az utolsó lépő nyer, a másik veszít - *Partisan/Normal play convention*). +- **Betli**: ha mindegyik $N$ típusú (azaz az utolsó lépő veszít - *Misere play convention*). -$J$ típusa: - -- `1-es`, ha a kezdő garantálni tudja, hogy előbb-utóbb $N_W$ beli mezőbe lép -- `*`, ha a kezdő garantálni tudja, hogy az ellenfél nem lép $N_W$ belibe -- `2-es`, ha nem `1-es` és nem `*` +$J$ pozíció típusa: +- `1-es`, ha a kezdő garantálni tudja, hogy előbb-utóbb $N_W$-beli mezőbe lép. +- `*`, ha a kezdő garantálni tudja, hogy az ellenfél nem lép $N_W$-belibe. +- `2-es`, ha nem `1-es` és nem `*`. #### Stratégia -Stratégia alatt egy $V → V$ függvényt értünk, amely minden $V$ -beli helyzethez, amelyik nem nyelő, hozzárendeli az egyik ki-szomszédját: vagyis tetszőleges álláshoz hozzárendelünk egyet a lehetséges lépések közül. Egy játékos követi az adott stratégiát, ha mindig a stratégia által kijelölt pozícióba lép. +Stratégia alatt egy $V \to V$ függvényt értünk, amely minden $V$-beli helyzethez, amelyik nem nyelő, hozzárendeli az egyik ki-szomszédját: vagyis tetszőleges álláshoz hozzárendelünk egyet a lehetséges lépések közül. Egy játékos követi az adott stratégiát, ha mindig a stratégia által kijelölt pozícióba lép. **Nyerő** egy stratégia, ha őt követve mindig nyerni tudunk, akármit is lépjen közben a másik játékos. #### Irányított gráf magja -A $G = (V, E)$ gráf egy $S ⊆ V$ független ponthalmazát magnak nevezzük, ha minden $(V \backslash S)$-beli csúcsnak van $S$-beli szomszédja. +A $G = (V, E)$ gráf egy $S \subseteq V$ független ponthalmazát magnak nevezzük, ha minden $(V \setminus S)$-beli csúcsnak van $S$-beli szomszédja. ##### Tétel -Ha $G$ DAG, akkor $\exists G$-ben $K$ mag +Ha $G$ DAG (irányított körmentes gráf), akkor létezik $G$-ben $K$ mag. --- @@ -45,30 +44,26 @@ Ha $G$ DAG, akkor $\exists G$-ben $K$ mag ### Játékok összege -A $J$ és $J'$ kombinatorikus játék összegén azt a $J +J '$ kombinatorikus játékot értjük, melyben a két játékos párhuzamosan játssza a $J$ és $J'$ játékokat úgy, hogy a soron következő játékos a $J$ és $J'$játékok közül pontosan az egyikben lép egyet, és a $J + J'$ végeredménye az utoljára befejezett játék eredménye lesz. +A $J$ és $J'$ kombinatorikus játék összegén azt a $J + J'$ kombinatorikus játékot értjük, melyben a két játékos párhuzamosan játssza a $J$ és $J'$ játékokat úgy, hogy a soron következő játékos a $J$ és $J'$ játékok közül pontosan az egyikben lép egyet, és a $J + J'$ végeredménye az utoljára befejezett játék eredménye lesz. ### Az összeg típusa -1. $J+J$: 2-es típusú -2. Ha a $J = (V, E, p_0)$ játék $P$ típusú, akkor a $J + J'$ összegjáték tetszőleges J' játékra ugynolyan típusú, mint $J'$. - **Bizonyítás:** - Annak a játékosnak, akinek $J'$-ben nyerő stratégiája van, a következő lesz a nyerő stratégiája $J + J'$-ben: lépjen $J'$-ben a stratégiája szerint, kivéve, ha a másik $J$-ben lép, ekkor a $J$-beli nyerő stratégiája szerint lépjen (hiszen $J$-ben a másodiknak van nyerő stratégiája). - -3. Tetszőleges $J$ és $J'$ játékokra $J$ és $J + J'+ J'$ típusa megegyezik. -**Bizonyítás:** A $J$-ben nyerő játékos játszon a $J$-beli nyerő stratégiája szerint, kivéve, ha a másik a $J'$ egyik példányában lép, ekkor lépje ugyanezt a másik példányban. - - - +1. $J + J$: 2-es típusú. +2. Ha a $J = (V, E, p_0)$ játék $P$ típusú, akkor a $J + J'$ összegjáték tetszőleges $J'$ játékra ugyanolyan típusú, mint $J'$. + **Bizonyítás:** + Annak a játékosnak, akinek $J'$-ben nyerő stratégiája van, a következő lesz a nyerő stratégiája $J + J'$-ben: lépjen $J'$-ben a stratégiája szerint, kivéve, ha a másik $J$-ben lép; ekkor a $J$-beli nyerő stratégiája szerint lépjen (hiszen $J$-ben a másodiknak van nyerő stratégiája). +3. Tetszőleges $J$ és $J'$ játékokra $J$ és $J + J' + J'$ típusa megegyezik. + **Bizonyítás:** A $J$-ben nyerő játékos játsszon a $J$-beli nyerő stratégiája szerint, kivéve, ha a másik a $J'$ egyik példányában lép; ekkor lépje ugyanezt a másik példányban. ### Grundy-számozás -Egy $G = (V, E)$ gráffal rendelkező éles kombinatorikus játék Grundy-számozása egy olyan $g : V \rightarrow \mathbb{N}$ függvény, melyre tetszőleges $v ∈ V$ esetén $g(v) = mex\{g(w) \space| \space vw \in E\}$ , ahol egy nemnegatív számokból álló halmaz mex (minimum excludant) értékén azt a legkisebb nemnegatív egész számot értjük, ami nincs benne a halmazban. +Egy $G = (V, E)$ gráffal rendelkező éles kombinatorikus játék Grundy-számozása egy olyan $g : V \to \mathbb{N}$ függvény, melyre tetszőleges $v \in V$ esetén $g(v) = \text{mex}\{g(w) \mid vw \in E\}$, ahol egy nemnegatív számokból álló halmaz mex (minimum excludant) értékén azt a legkisebb nemnegatív egész számot értjük, ami nincs benne a halmazban. Minden éles kombinatorikus játéknak létezik Grundy-számozása. -#### NIM összeg +#### NIM-összeg -Nim-összeg. Az a, $b ∈ \mathbb{N}$ számok nim-összegét úgy kapjuk meg, hogy mindkét számot felírjuk kettes számrendszerben és az azonos helyiértéken szereplő számjegyeiket modulo 2 összeadjuk. Jele: $a ⊕ b$. +NIM-összeg: Az $a, b \in \mathbb{N}$ számok NIM-összegét úgy kapjuk meg, hogy mindkét számot felírjuk kettes számrendszerben, és az azonos helyiértéken szereplő számjegyeiket modulo 2 összeadjuk. Jele: $a \oplus b$. #### Tulajdonságai @@ -87,57 +82,59 @@ Nim-összeg. Az a, $b ∈ \mathbb{N}$ számok nim-összegét úgy kapjuk meg, ho ### Sprague-Grundy-tétel -Ha a $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ gráfokkal rendelkező éles kombinatorikus -játékok Grundy-számozása rendre $g : V → \mathbb{N}$ és $g' : V' → \mathbb{N}$, akkor a két játék összegének Grundy számozása +Ha a $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ gráfokkal rendelkező éles kombinatorikus játékok Grundy-számozása rendre $g : V \to \mathbb{N}$ és $g' : V' \to \mathbb{N}$, akkor a két játék összegének Grundy-számozása: -$$g ⊕ g' : V × V' → \mathbb{N}$$ +$$g \oplus g' : V \times V' \to \mathbb{N}$$ ### Bouton-tétel -Legyen $k ∈ \mathbb{N}_+$ és tekintsük azt a k-nim játékot, amiben a kupacok méretei $n_1, n_2, . . . , n_k$. -Ekkor a második játékosnak pontosan akkor van nyerő stratégiája, ha $n_1 ⊕ n_2 ⊕ . . . ⊕ n_k = 0$. +Legyen $k \in \mathbb{N}_+$ és tekintsük azt a k-NIM játékot, amiben a kupacok méretei $n_1, n_2, \dots, n_k$. +Ekkor a második játékosnak pontosan akkor van nyerő stratégiája, ha $n_1 \oplus n_2 \oplus \dots \oplus n_k = 0$. ### Játékok izomorfiája -A $(G, N_W, N_T, N_L, v_0)$ és $(G', N'_W, N'_T, N'_L, v'_0)$, ha létezik $G$ és $G'$ között olyan gráf izomorfizmus, ami a nyelőket és a kezdőállásokat is megőrzi. +A $(G, N_W, N_T, N_L, v_0)$ és $(G', N'_W, N'_T, N'_L, v'_0)$ játékok izomorfak, ha létezik $G$ és $G'$ között olyan gráfizomorfizmus, ami a nyelőket és a kezdőállásokat is megőrzi. ### Játékok ekvivalenciája -A $J_1$ és $J_2$ játékok **eklivalensek**, ha $J_1 + J_2$ egy 2-es típusú játék. +A $J_1$ és $J_2$ játékok **ekvivalensek**, ha $J_1 + J_2$ egy 2-es típusú játék. Az alábbi állítások ekvivalensek: -1. $J_1 + J_2$ 2-es típusú -2. $G_{J_1}(u_0) = G_{J_2}(v_0)$ +1. $J_1 + J_2$ 2-es típusú. +2. $G_{J_1}(u_0) = G_{J_2}(v_0)$. 3. Tetszőleges $H$ éles játékra $J_1 + H$ és $J_2 + H$ azonos típusúak. -## 4. Stratégia másolás, stratégialopás. Mérgezett csoki, amőba, hex +--- -### Stratégia másolás +## 4. Stratégiamásolás, stratégialopás. Mérgezett csoki, amőba, hex -### Stratégia lopás +### Stratégiamásolás +(Definíció hiányzik a forrásból, de általában azt jelenti, hogy az egyik játékos utánozza a másik lépéseit szimmetrikus pozíciókban.) -### Mérgezett csoki +### Stratégialopás +(Definíció hiányzik a forrásból, de általában indirekt bizonyítási módszer: ha a második játékosnak lenne nyerő stratégiája, az első játékos egy "fiktív" lépéssel átvehetné azt.) -1-es típusú +### Mérgezett csoki +1-es típusú játék. ### Amőba - -A k-amőbában az első játékosnak van nem vesztő stratégiája. +A k-amőbában az első játékosnak van nemvesztő stratégiája. ### Hex +Adott egy $(n \times n)$-es hatszögrács, ahol $n \in \mathbb{N}_+$, és a soron következő játékos kiválasztja ennek egy (korábban még egyik játékos által sem választott) mezejét. A kezdőjátékos akkor nyer, ha keletkezik az általa kiválasztott mezőkből egy út a rács bal szélétől a jobbig, a másik játékos pedig akkor nyer, ha keletkezik az általa kiválasztott mezőkből egy út a rács felső szélétől az alsóig. -Adott egy $(n \times n)$-es hatszögrács, ahol $n ∈ \mathbb{N}_+$, és a soron következő játékos kiválasztja ennek egy (korábban még egyik játékos által sem választott) mezejét. A kezdőjátékos akkor nyer, ha keletkezik az általa kiválasztott mezőkből egy út a rács bal szélétől a jobbig, a másik játékos pedig akkor nyer, ha keletkezik az általa kiválasztott mezőkből egy út a rács első szélétől az alsóig. +A Hex-ben az első játékosnak van nemvesztő stratégiája. -A hex-ben az első játékosnak van nem vesztő stratégiája. +**Hex-tétel** (Hein, Nash, Gale): A Hex játék sohasem végződhet döntetlennel. -**Hex tétel** (Hein, Nash, Gale). A hex játék sohasem végződhet döntetlennel. +--- ## 5. Építő-romboló játékok, Erdős-Selfridge-tétel*, hipergráfok 2-színezhetőségének elégséges feltétele ### Építő-romboló játékok, valamint romboló-építő játékok -Adott egy $\mathcal{H} = (V, \varepsilon)$ hipergráf, és a soron következő játékos kiválaszt egy (korábban még egyik játékos által sem választott) $V$ -beli csúcsot. Az építő játékos akkor nyer, ha kiválasztja valamely $\varepsilon$-beli hiperél minden csúcsát, a romboló játékos pedig akkor nyer, ha ezt meg tudja akadályozni. Ha a kezdőjátékos az építő, akkor építő–romboló, ellenkező esetben pedig romboló–építő átékról beszélünk. +Adott egy $\mathcal{H} = (V, \varepsilon)$ hipergráf, és a soron következő játékos kiválaszt egy (korábban még egyik játékos által sem választott) $V$-beli csúcsot. Az építő játékos akkor nyer, ha kiválasztja valamely $\varepsilon$-beli hiperél minden csúcsát, a romboló játékos pedig akkor nyer, ha ezt meg tudja akadályozni. Ha a kezdőjátékos az építő, akkor építő–romboló, ellenkező esetben pedig romboló–építő játékról beszélünk. ### Erdős-Selfridge-tétel @@ -146,65 +143,63 @@ Ha egy építő-romboló játék $\mathcal{H} = (V, \varepsilon)$ hipergráfjár ### Hipergráfok 2-színezhetőségének elégséges feltétele **Tétel**: - -Ha egy $\varepsilon$ halmazrendszerre a rombolónak van nyerő stratégiája (második játékosként), akkor 2-színezhető. +Ha egy $\varepsilon$ halmazrendszerre a rombolónak van nyerő stratégiája (második játékosként), akkor a hipergráf 2-színezhető. **Bizonyítás**: Tudjuk, hogy akkor is a romboló nyerne, ha ő kezdene. Játsszon mindkét játékos a romboló stratégiája szerint, és színezzük a pontokat aszerint, hogy ki foglalja el: az építő pontjait kékkel, a romboló pontjait pirossal. Ekkor mindketten elérik, hogy minden $\varepsilon$-beli halmazból legyen pontjuk, vagyis a kapott színezés jó 2-színezés. +--- ## 6. Stratégiai játékok, fogolydilemma, Pareto-optimális stratégiaválasztás, domináns stratégiák, kevert stratégiák. Stratégiák (iterált) eliminálása és annak hatása a Pareto-optimális stratégiaválasztásokra ### Stratégiai játék -Adott $n ∈ \mathbb{N}_+$ játékos, és tetszőleges $i ∈ \{1, . . . , n\}$ esetén adott az $i$-edik játékoshoz a lehetséges stratégiáinak egy véges $S_i$ halmaza, valamint egy $u_i: S1 × . . . × Sn → \mathbb{R}$ nyereségfüggvény. Minden játékos ismeri a többiek lehetséges stratégiáit és nyereségfüggvényeit. A játék elején a játékosok egymástól függetlenül kiválasztanak egy-egy stratégiát azzal a céllal, hogy maximalizálják a saját nyereségüket. +Adott $n \in \mathbb{N}_+$ játékos, és tetszőleges $i \in \{1, \dots, n\}$ esetén adott az $i$-edik játékoshoz a lehetséges stratégiáinak egy véges $S_i$ halmaza, valamint egy $u_i: S_1 \times \dots \times S_n \to \mathbb{R}$ nyereségfüggvény. Minden játékos ismeri a többiek lehetséges stratégiáit és nyereségfüggvényeit. A játék elején a játékosok egymástól függetlenül kiválasztanak egy-egy stratégiát azzal a céllal, hogy maximalizálják a saját nyereségüket. **Tulajdonságok:** - -- **Egy lépéses:** a játékosok egyszerre lépnek -- **Szinkron:** a játékosok egyszerre döntenek, a döntést titkolva egymástól -- **Teljes információ:** minden játékos minden a játékra vonatkozó információt ismer -- **Racionalítás:** minden játékos a saját nyereségét maximalizálja -- **Racionalítás köztudása:** minden játékos felteszi, hogy a többiek racionálisak és hogy `ők is tudják, hogy a többiek racionálisak` -- **Nullösszegű:** a játékosok nyereségének összege nulla +- **Egylépéses:** a játékosok egyszerre lépnek. +- **Szinkron:** a játékosok egyszerre döntenek, a döntést titkolva egymástól. +- **Teljes információ:** minden játékos minden a játékra vonatkozó információt ismer. +- **Racionalitás:** minden játékos a saját nyereségét maximalizálja. +- **Racionalitás köztudása:** minden játékos felteszi, hogy a többiek racionálisak, és hogy `ők is tudják, hogy a többiek racionálisak`. +- **Nullösszegű:** a játékosok nyereségének összege nulla. ### Fogolydilemma -A fogyoldilemma egy gondolatkísérlet, ahol két racionális ügynök közötti játékot vizsgáljuk. A játékosoknak két lehetősége van: együttműködés vagy árulás. A játékosoknak az a céljuk, hogy a saját nyereségüket maximalizálják. A játék szabályai a következők: +A fogolydilemma egy gondolatkísérlet, ahol két racionális ügynök közötti játékot vizsgáljuk. A játékosoknak két lehetősége van: együttműködés vagy árulás. A játékosoknak az a céljuk, hogy a saját nyereségüket maximalizálják. A játék szabályai a következők: -| | Tagad | Vall | -|-------|-----------|--------| -| Tagad | -1, -1 | -3, 0 | -| Vall | 0, -3 | -2, -2 | +| | Tagad | Vall | +|-------|-----------|-------| +| Tagad | -1, -1 | -3, 0 | +| Vall | 0, -3 | -2, -2| -A játékban az árulás a az erős domináns stratégia, azaz a játékosoknak az a legjobb, ha árulnak. Így a Nash-egyensúlyban mindkét játékos árulni fog. Ez a megoldás azonban nem Pareto-optimális, mert ha mindketten tagadnának, akkor mindketten jobban járnának. +A játékban az árulás az erős domináns stratégia, azaz a játékosoknak az a legjobb, ha árulnak. Így a Nash-egyensúlyban mindkét játékos árulni fog. Ez a megoldás azonban nem Pareto-optimális, mert ha mindketten tagadnának, akkor mindketten jobban járnának. ### Pareto-optimális stratégiaválasztás -Pareto-optimális stratégiaválasztás. Az $(s_1,..., s_n) ∈ S_1×. . .×S_n$ stratégiaválasztás Pareto-optimális, ha nem létezik olyan $(s'_1, . . . , s'_n) ∈ S_1 ×...× S_n$ stratégiaválasztás, melyre a következők teljesülnek: - -- minden $i ∈ {1, . . . , n}$ esetén $u_i(s_1,..., s_n) ≤ u_i(s'_1,..., s'_n)$, és -- $\exists j ∈ {1, . . . , n}$, amelyre $u_j(s_1,..., s_n) < u_j(s'_1,..., s'_n)$ +Az $(s_1, \dots, s_n) \in S_1 \times \dots \times S_n$ stratégiaválasztás Pareto-optimális, ha nem létezik olyan $(s'_1, \dots, s'_n) \in S_1 \times \dots \times S_n$ stratégiaválasztás, melyre a következők teljesülnek: +- minden $i \in \{1, \dots, n\}$ esetén $u_i(s_1, \dots, s_n) \leq u_i(s'_1, \dots, s'_n)$, és +- $\exists j \in \{1, \dots, n\}$, amelyre $u_j(s_1, \dots, s_n) < u_j(s'_1, \dots, s'_n)$. ### Domináns stratégiák #### Gyenge dominálás -A $z \in S_i$ stratégia gyengén dominálja a $z' \in S_i$ stratégiát, ha tetszőleges $s_1 \in S_1,..., s_{i-1} \in S_{i-1}, s_{i+1} \in S_{i + 1}, ..., s_n \in S_n$ esetén +A $z \in S_i$ stratégia gyengén dominálja a $z' \in S_i$ stratégiát, ha tetszőleges $s_1 \in S_1, \dots, s_{i-1} \in S_{i-1}, s_{i+1} \in S_{i+1}, \dots, s_n \in S_n$ esetén: $$ -u_i(s_1,..., s_{i-1}, z, s_{i+1} ..., s_n) \geq u_i(s_1,..., s_{i-1}, z', s_{i+1} ..., s_n) +u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, z, s_{i+1}, \dots, s_n) \geq u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, z', s_{i+1}, \dots, s_n) $$ #### Erős dominálás -A $z \in S_i$ stratégia erősen dominálja a $z' \in S_i$ stratégiát, ha tetszőleges $s_1 \in S_1,..., s_{i-1} \in S_{i-1}, s_{i+1} \in S_{i + 1}, ..., s_n \in S_n$ esetén +A $z \in S_i$ stratégia erősen dominálja a $z' \in S_i$ stratégiát, ha tetszőleges $s_1 \in S_1, \dots, s_{i-1} \in S_{i-1}, s_{i+1} \in S_{i+1}, \dots, s_n \in S_n$ esetén: $$ -u_i(s_1,..., s_{i-1}, z, s_{i+1} ..., s_n) > u_i(s_1,..., s_{i-1}, z', s_{i+1} ..., s_n) +u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, z, s_{i+1}, \dots, s_n) > u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, z', s_{i+1}, \dots, s_n) $$ ### Kevert stratégiák -Tetszőleges $i ∈ {1, . . . , n}$ esetén egy $S_i$ halmaz feletti valószínűségi eloszlást az $i$-edik játékos kevert stratégiájának nevezünk. Az $i$-edik játékos kevert stratégiáinak halmazát a $∆_i$ szimbólummal jelöljük. +Tetszőleges $i \in \{1, \dots, n\}$ esetén egy $S_i$ halmaz feletti valószínűségi eloszlást az $i$-edik játékos kevert stratégiájának nevezünk. Az $i$-edik játékos kevert stratégiáinak halmazát a $\Delta_i$ szimbólummal jelöljük. ### Stratégiák (iterált) eliminálása @@ -215,51 +210,45 @@ Addig ismételjük az eliminálást, amíg lehet. ### Iterált eliminálás hatása a Pareto-optimális stratégiaválasztásokra -1. Szigorú eliminálás után Pareto-optimális kimenetek eltűnhetnek és keletkezhetnek. Tiszta Nash -egyensúlyok nem tűnhetnek el. +1. Szigorú eliminálás után Pareto-optimális kimenetek eltűnhetnek és keletkezhetnek. Tiszta Nash-egyensúlyok nem tűnhetnek el. +2. Laza eliminálás után Pareto-optimális kimenetek ugyanazok maradnak. Ha eliminálás után egy kimenetel tiszta Nash-egyensúly, akkor az az eliminálás előtt is az volt. -2. Laza eliminálás után Pareto-optimális kimenetek ugyan azok maradnak. Ha eliminálás után egy -kimenetel tiszta Nash egyensúly, akkor az aze liminálás előtt is az volt. +`Szigorú eliminálás nem változtat a tiszta Nash-egyensúlyok halmazán` -`Szigorú eliminálás nem változtat a tiszta Nash egyensúlyok halmazán` +--- ## 7. Iterált szigorú eliminálás sorrend-függetlensége*. Tiszta és kevert Nash-egyensúly, (iterált) eliminálás hatása a Nash-egyensúlyokra* ### Iterált szigorú eliminálás sorrend-függetlensége -Akármilyen sorrendben töröljük a dominált stratégiákat az iterált eliminálás szigorú változatánál, -a megmaradó stratégiák mindig ugyanazok lesznek. +Akármilyen sorrendben töröljük a dominált stratégiákat az iterált eliminálás szigorú változatánál, a megmaradó stratégiák mindig ugyanazok lesznek. ### Tiszta és kevert Nash-egyensúly -Egy $(s_1, s_2, ..., s_n) \in S_1 \times S_2 \times ... \times S_n$ stratégiaválasztás `Nash egyensúly`, ha minden $i \in \{1, ..., n\}$ játékosra teljesül, hogy nincs olyan $s_i' \in S_i$ stratégia, amelyre - +Egy $(s_1, s_2, \dots, s_n) \in S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n$ stratégiaválasztás `Nash-egyensúly`, ha minden $i \in \{1, \dots, n\}$ játékosra teljesül, hogy nincs olyan $s_i' \in S_i$ stratégia, amelyre $$ -u_i(s_1, ..., s_{i-1}, s_i', s_{i+1}, ..., s_n) > u_i(s_1, ..., s_{i-1}, s_i, s_{i+1}, ..., s_n). +u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, s_i', s_{i+1}, \dots, s_n) > u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, s_i, s_{i+1}, \dots, s_n). $$ - -Más szóval, egy stratégiaválasztás Nash egyensúly, ha egyetlen játékos sem tudja növelni a saját nyereségét azzal, hogy egyoldalúan megváltoztatja a stratégiáját. +Más szóval, egy stratégiaválasztás Nash-egyensúly, ha egyetlen játékos sem tudja növelni a saját nyereségét azzal, hogy egyoldalúan megváltoztatja a stratégiáját. - **Tiszta Nash-egyensúly**: - - Az $(s_1, s_2, ..., s_n) \in S_1 \times S_2 \times ... \times S_n$ tiszta stratégiaválasztás tiszta Nash egyensúly, ha minden $i ∈ {1, ..., n}$ és $s_i' \in S_i$ esetén az $i$-edik játékos várható nyeresége a $(s_1,..., s_{i-1}, s_i, s_{i+1},..., s_n)$ stratégiaválasztás mellett legalább akkora, mint a $(s_1,..., s_{i-1}, s_i', s_{i+1},..., s_n)$ mellett, azaz - -$$ -u_i(s_1,..., s_{i-1}, s_i, s_{i+1},..., s_n) \geq u_i(s_1,..., s_{i-1}, s_i', s_{i+1},..., s_n) -$$ + Az $(s_1, s_2, \dots, s_n) \in S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n$ tiszta stratégiaválasztás tiszta Nash-egyensúly, ha minden $i \in \{1, \dots, n\}$ és $s_i' \in S_i$ esetén az $i$-edik játékos várható nyeresége az $(s_1, \dots, s_{i-1}, s_i, s_{i+1}, \dots, s_n)$ stratégiaválasztás mellett legalább akkora, mint az $(s_1, \dots, s_{i-1}, s_i', s_{i+1}, \dots, s_n)$ mellett, azaz: + $$ + u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, s_i, s_{i+1}, \dots, s_n) \geq u_i(s_1, \dots, s_{i-1}, s_i', s_{i+1}, \dots, s_n) + $$ - **Kevert Nash-egyensúly**: - - Az $(\sigma_1,...,\sigma_n) \in \Delta_1 \times...\times\Delta_n$ kevert stratégiaválasztás kevert Nash egynesúly, ha minden $i ∈ {1,..., n}$ és $\sigma_i' \in S_i$ esetén az $i$-edik játékos várható nyeresége a $(\sigma_1,..., \sigma_{i-1}, \sigma_i, \sigma_{i+1},..., \sigma_n)$ stratégiaválasztás mellett legalább akkora, mint a $(\sigma_1,..., \sigma_{i-1}, \sigma_i', \sigma_{i+1},..., \sigma_n)$ mellett, azaz - -$$ -u_i(\sigma_1,..., \sigma_{i-1}, \sigma_i, \sigma_{i+1},..., \sigma_n) \geq u_i(\sigma_1,..., \sigma_{i-1}, \sigma_i', \sigma_{i+1},..., \sigma_n) -$$ + A $(\sigma_1, \dots, \sigma_n) \in \Delta_1 \times \dots \times \Delta_n$ kevert stratégiaválasztás kevert Nash-egyensúly, ha minden $i \in \{1, \dots, n\}$ és $\sigma_i' \in S_i$ esetén az $i$-edik játékos várható nyeresége a $(\sigma_1, \dots, \sigma_{i-1}, \sigma_i, \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n)$ stratégiaválasztás mellett legalább akkora, mint a $(\sigma_1, \dots, \sigma_{i-1}, \sigma_i', \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n)$ mellett, azaz: + $$ + u_i(\sigma_1, \dots, \sigma_{i-1}, \sigma_i, \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n) \geq u_i(\sigma_1, \dots, \sigma_{i-1}, \sigma_i', \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n) + $$ ### (Iterált) eliminálás hatása a Nash-egyensúlyokra -1. Szigorú eliminálással kevert Nash egyensúly nem tűnik el -2. Laza eliminálás után kapott kevert Nash egyensúly az eredeti játékhoz is kevert Nash egyensúly. +1. Szigorú eliminálással kevert Nash-egyensúly nem tűnik el. +2. Laza eliminálás után kapott kevert Nash-egyensúly az eredeti játékhoz is kevert Nash-egyensúly. + +--- ## 8. Maximin stratégiák. Kétszemélyes, 0-összegű, véges játékok: maximin stratégia és Nash-egyensúly kapcsolata*, Neumann-tétel (biz. nélkül) @@ -275,21 +264,22 @@ A játékosok maximin stratégiái minden véges, kétszemélyes, 0-összegű m Minden véges, kétszemélyes, 0-összegű mátrixjátékban a sorjátékos minimális várható nyereségének maximuma megegyezik az oszlopjátékos maximális várható veszteségének minimumával. +--- + ## 9. Osztozkodási játék, arányos elosztások. Oszt-választ, Fink- és Tasnádi-eljárás ### Osztozkodási játék +(Nincs részletezve a forrásban, általános koncepció.) ### Elosztás Elosztás alatt egy olyan $(A_1, \dots, A_n)$ rendezett $n$-est értünk, ahol: - - Tetszőleges $i \in \{1, \dots, n\}$ esetén $A_i$ véges sok páronként diszjunkt, balról zárt és jobbról nyílt intervallumoknak az uniója, -- $A_1, \dots, A_n$ halmazok a $[0, 1]$ intervallum egy felosztását alkotják (azaz páronként diszjunktak és az uniójuk $[0,1]$). +- $A_1, \dots, A_n$ halmazok a $[0, 1]$ intervallum egy felosztását alkotják (azaz páronként diszjunktak és az uniójuk $[0, 1]$). ### Értékelő eloszlásfüggvény Tetszőleges $i \in \{1, \dots, n\}$ esetén adott az $i$-edik játékosnak az $f_i$ értékelő eloszlásfüggvénye, melyre a következők teljesülnek: - - $f_i: [0, 1] \to [0, 1]$, - folytonos, - monoton növekvő, @@ -315,15 +305,17 @@ Egy $(A_1, \dots, A_n)$ elosztás irigységmentes, ha tetszőleges $i, j \in \{1 ### Oszt és választ -Két játékos esetén az egyik játékos a saját értékelő függvénye szerint két egyenlő részre osztja az elosztandó halmazt, majd a másik játékos kiválasztja ezek közül a saját értékelő függvénye szerint némirosszabbat. +Két játékos esetén az egyik játékos a saját értékelő függvénye szerint két egyenlő részre osztja az elosztandó halmazt, majd a másik játékos kiválasztja ezek közül a saját értékelő függvénye szerint a **számára nem rosszabbat**. ### Fink-eljárás -Rekurzívan definiáljuk: ha az első $n - 1$ játékos már arányosan megosztozott az $(n - 1)$-személyes Fink-eljárással, akkor felosztják a saját értékelő függvényük szerint a saját részüket $n$ egyenlő részre, és az $n$-edik játékos mindenkiből választ a saját értékelő függvénye szerint egy-egy legjobb részt. +Rekurzívan definiáljuk: ha az első $n - 1$ játékos már arányosan megosztozott az $(n - 1)$-személyes Fink-eljárással, akkor felosztják a saját értékelő függvényük szerint a saját részüket $n$ egyenlő részre, és az $n$-edik játékos mindenkiből választ a saját értékelő függvénye szerint egy-egy legjobb részt. ### Tasnádi-eljárás -Az első játékos a saját értékelő függvénye szerint $n$ egyforma részre osztja az elosztandó halmazt, és mind az $n$ részhez előkészít $n - 1$ darab jegyet. A $k$-adik játékos mindegyik elvessz $n - k$ darab különböző jegyet aszerint, hogy melyik $n - 1$ részt értékeli a saját értékelő függvénye szerint a legjobbra. A fel nem használt $n - 1$ darab jegy az első játékosnál marad. Ezután az $n$ rész mindegyikén $n - 1$ játékos osztozkodik tovább a Tasnádi-eljárásnak megfelelő multiplicitással vesz részt. +Az első játékos a saját értékelő függvénye szerint $n$ egyforma részre osztja az elosztandó halmazt, és mind az $n$ részhez előkészít $n - 1$ darab jegyet. A $k$-adik játékos mindegyikből elvessz $n - k$ darab különböző jegyet aszerint, hogy melyik $n - 1$ részt értékeli a saját értékelő függvénye szerint a legjobbra. A fel nem használt $n - 1$ darab jegy az első játékosnál marad. Ezután az $n$ rész mindegyikén $n - 1$ játékos osztozkodik tovább a Tasnádi-eljárásnak megfelelő multiplicitással. + +--- ## 10. (Diszkrét) mozgó késes és Even-Paz eljárás. Irigységmentes elosztások, Conway-Selfridge-eljárás @@ -333,30 +325,31 @@ Minden játékos megjelöli a saját értékelő függvénye szerint az aktuáli ### Even-Paz-eljárás -Minden játékos megjelöli a saját értékelő függvénye szerint $\lfloor n/2 \rfloor$, $\lceil n/2 \rceil$-ig tartó részt. Vágjuk el az intervallumot a balról számított $\lfloor n/2 \rfloor$-edik osztópontnál (a többi játékos által is megjelölt osztópontokat megfelelő multiplicitással számoljuk). A vágástól balra jelölő játékosok a baloldali részen, a többiek a jobboldali részen osztoznak tovább az Even-Paz-eljárással. +Minden játékos megjelöli a saját értékelő függvénye szerint $\lfloor n/2 \rfloor$, $\lceil n/2 \rceil$-ig tartó részt. Vágjuk el az intervallumot a balról számított $\lfloor n/2 \rfloor$-edik osztópontnál (a többi játékos által is megjelölt osztópontokat megfelelő multiplicitással számoljuk). A vágástól balra jelölő játékosok a bal oldali részen, a többiek a jobb oldali részen osztoznak tovább az Even-Paz-eljárással. ### Conway-Selfridge-eljárás -Három játékos osztozkodik: $A, B, C$ +Három játékos osztozkodik: $A, B, C$. 1. $A$ három egyenlő részre osztja az intervallumot. -A szeletek $B$ preferencia sorrendjében legyenek: $X, Y, Z$ + A szeletek $B$ preferencia sorrendjében legyenek: $X, Y, Z$. 2. $B$ $X$-ből levág egy $X^*$ darabot úgy, hogy a maradék $X'$ és $Y$ egyformák legyenek. -3. $X', Y, Z$-ből $C \rightarrow B \rightarrow A$ sorrendben váalsztanak. Ha $B$ választhatja $X'$-t, akkor azt választja. -4. $P(X)$: az $X'$-t megkapó játékos $\in \{B, C\} P(\overline{X'}) = B$ és $C$ az, aki nem $X'$-t kapta. -5. $P(\overline{X'})$ három egyforma részre osztja az $X^*$-ot, majd ebből választanak -$P(X') \rightarrow A \rightarrow P(\overline{X'})$ sorrendben. +3. $X', Y, Z$-ből $C \rightarrow B \rightarrow A$ sorrendben választanak. Ha $B$ választhatja $X'$-t, akkor azt választja. +4. $P(X)$: az $X'$-t megkapó játékos $\in \{B, C\}$. $P(\overline{X'}) = B$ és $C$ az, aki nem $X'$-t kapta. +5. $P(\overline{X'})$ három egyforma részre osztja az $X^*$-ot, majd ebből választanak $P(X') \rightarrow A \rightarrow P(\overline{X'})$ sorrendben. + +--- ## 11. Csődjáték, kelmeszabály, kelmeszabály-konzisztens szétosztás, Kamiński-féle közlekedőedény-rendszer. A csődjáték nukleólusza, Aumann-Maschler-tétel* ### Kelmeszabály -- Ketten osztozkodnak és többet követelnek, mint a vagyon +- Ketten osztozkodnak és többet követelnek, mint a vagyon. - Mindketten megkapják a másik által nem követelt részt, míg a vitatott részen egyenlően osztoznak. ### Csődprobléma -Meghal egy ember, aki $E$ nagyságú vagyont és $d_1, d_2,..., d_n$ nagyságú adósságot hagyg hátra. Hogyan kell kifizetni a hitelezőket, ha $\sum_id_i > E$. +Meghal egy ember, aki $E$ nagyságú vagyont és $d_1, d_2, \dots, d_n$ nagyságú adósságot hagy hátra. Hogyan kell kifizetni a hitelezőket, ha $\sum_i d_i > E$. #### Formális probléma @@ -365,18 +358,18 @@ A **csődproblémát** az $E$ vagyon nagyság és a $d_1 \leq d_2 \leq \dots \le **Definíció:** A csődprobléma esetén `szétosztásnak` egy nemnegatív valós számokból álló olyan $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ rendezett $n$-est nevezünk, amire $E = x_1 + x_2 + \dots + x_n$. -Ha $n = 2$, akkor a ksz egy lehetséges szétosztást adó eljárás. +Ha $n = 2$, akkor a KSZ (kelmeszabály) egy lehetséges szétosztást adó eljárás. -**Definíció** -Az $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ szétosztás `ksz-konzisztens`, ha bármely $i, j$-re az $x_i + x_j$ nagyságú vagyon $d_i, d_j$ követelésekhez a ksz szabály $x_i$ és $x_j$ részeket rendel. +**Definíció:** +Az $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ szétosztás `KSZ-konzisztens`, ha bármely $i, j$-re az $x_i + x_j$ nagyságú vagyon $d_i, d_j$ követelésekhez a KSZ szabály $x_i$ és $x_j$ részeket rendel. -**Azaz:** Ha két hitelező az általuk kapott részt a ksz szerint újraosztja, akkor a korábbi jussukat kapják vissza. +**Azaz:** Ha két hitelező az általuk kapott részt a KSZ szerint újraosztja, akkor a korábbi jussukat kapják vissza. **Megfigyelés:** -A Talmudbeli szétosztások ksz-konzisztensek. +A Talmudbeli szétosztások KSZ-konzisztensek. **Kínzó kérdés:** -Létezik-e minden csődproblémára ksz-konzisztens szétosztás? +Létezik-e minden csődproblémára KSZ-konzisztens szétosztás? **Részleges válasz:** Ha van, akkor egyértelmű. @@ -385,30 +378,28 @@ Ha van, akkor egyértelmű. Tfh mindkét hitelezőhöz tartozik egy-egy azonos keresztmetszetű, $d_1$ ill. $d_2$ térfogatú, hengeres tartály. Vágjuk félbe a tartályokat, kössük össze ezeket vékony csövekkel, és töltsük fel $E$ (vagyon nagyság) mennyiségű folyadékkal az így kapott közlekedőedény-rendszert. -„Könnyen” látható, hogy folyadék épp a ksz szerint oszlik meg az egyes tartályokban. +„Könnyen” látható, hogy a folyadék épp a KSZ szerint oszlik meg az egyes tartályokban. -Így már nem nehéz ksz-konzisztens szétosztást találni: minden hitelezőhöz tartozzon egy-egy követelésnyi térfogatú tartály, kössük össze ezeket vékony csövekkel, és töltsük fel $E$ mennyiségű folyadékkal a kapott rendszert. +Így már nem nehéz KSZ-konzisztens szétosztást találni: minden hitelezőhöz tartozzon egy-egy követelésnyi térfogatú tartály, kössük össze ezeket vékony csövekkel, és töltsük fel $E$ mennyiségű folyadékkal a kapott rendszert. ### A csődjáték nukleólusza -Egy $S$ koalíció `többlete` annyi amennyit az értéken felül kap. +Egy $S$ koalíció `többlete` annyi, amennyit az értéken felül kap. --- - -A `töbletvektor` a többletekből áll, növekvő sorrendben. +A `többletvektor` a többletekből áll, növekvő sorrendben. Például: - $\theta{(x)} = (33.3, 66.6, 66.6, 100, 100, 133.3)$ - --- -A `nukleolusz` az a szétosztás, ami lexikografikusan maximalizálja a többletvektort. Azaz: az első -koordináta maximális, ezen belül a második, stb. +A `nukleólusz` az a szétosztás, ami lexikografikusan maximalizálja a többletvektort. Azaz: az első koordináta maximális, ezen belül a második, stb. ### Aumann-Maschler-tétel -A ksz-konzisztens szétosztás a csődjáték nukleólusza. +A KSZ-konzisztens szétosztás a csődjáték nukleólusza. + +--- ## 12. Szavazási modell. Egyhangú és lényegtelen alternatíváktól független szavazási mechanizmusok. Társadalmi választási függvények és szabályok kapcsolata. Extrém alternatíva, lemma az extrém alternatívákról @@ -416,56 +407,46 @@ A ksz-konzisztens szétosztás a csődjáték nukleólusza. Az alábbi szavazási modellben dolgozunk. Adott a szavazók $N = \{1, 2, \dots, n\}$ és az alternatívák $A = \{a_1, \dots, a_k\}$ halmaza, $L$ pedig az $A$ alternatívahalmaz lineáris rendezéseit jelöli. -Feltesszük, hogy minden szavazó preferenciáját egy $L$-beli lineáris rendezés írja le (az $i$-dik szavazóét $\preceq_i$ jelöli), és rögzítjük, hogy a szavazás végeredménye csak ezektől a preferenciáktól függhet, ahol $a \prec_i b$ jelentése az, hogy az $i$-dik szavazó számára a $b$ alternatíva jobb az $a$ alternatívánál. A $\preceq$ preferenciarendezés szerint legjobban preferált alternatívát $Top(\preceq)$ jelöli. +Feltesszük, hogy minden szavazó preferenciáját egy $L$-beli lineáris rendezés írja le (az $i$-edik szavazóét $\preceq_i$ jelöli), és rögzítjük, hogy a szavazás végeredménye csak ezektől a preferenciáktól függhet, ahol $a \prec_i b$ jelentése az, hogy az $i$-edik szavazó számára a $b$ alternatíva jobb az $a$ alternatívánál. A $\preceq$ preferenciarendezés szerint legjobban preferált alternatívát $\text{Top}(\preceq)$ jelöli. -**Választási profil** egy, a szavazók preferenciáit felsoroló $\Pi = (\preceq_1, \dots, \preceq_n)$ -vektor. A szavazás kimenetele pedig egy függvény által meghatározott $L$-beli közös preferenciarendezés - vagy egy $A$-beli alternatíva. +**Választási profil** egy, a szavazók preferenciáit felsoroló $\Pi = (\preceq_1, \dots, \preceq_n)$ vektor. A szavazás kimenetele pedig egy függvény által meghatározott $L$-beli közös preferenciarendezés vagy egy $A$-beli alternatíva. -**Társadalmi választási szabály (TVSZ)** alatt egy $F : L^n \to L$ függvényt, -**Társadalmi választási függvény (TVF)** alatt pedig egy $F : L^n \to A$ leképezést értünk. +**Társadalmi választási szabály (TVSZ)** alatt egy $F : L^n \to L$ függvényt, **Társadalmi választási függvény (TVF)** alatt pedig egy $F : L^n \to A$ leképezést értünk. ### Egyhangú és lényegtelen alternatíváktól független szavazási mechanizmusok -Az $F$ TVSZ `egyhangú`, ha minden $(a,b)$ alternatívapárra igaz az alábbi tulajdonság. -Ha $a \preceq_i b$ minden 1 $i$-re akkor $a \preceq b$ teljesül a $\preceq = F(\Pi)$ közös döntésre. - -Az $F$ **TVSZ** `független a lényegtelen alternatíváktól`, ha minden $(a, b)$ alternatívapárra az alábbi tulajdonság teljesül. +Az $F$ TVSZ `egyhangú`, ha minden $(a,b)$ alternatívapárra igaz az alábbi tulajdonság: +Ha $a \preceq_i b$ minden $i$-re, akkor $a \preceq b$ teljesül a $\preceq = F(\Pi)$ közös döntésre. +Az $F$ **TVSZ** `független a lényegtelen alternatíváktól`, ha minden $(a, b)$ alternatívapárra az alábbi tulajdonság teljesül: Ha $\Pi = (\preceq_1, \dots, \preceq_n)$ és $\Pi' = (\preceq'_1, \dots, \preceq'_n)$ olyan választási profilok, amelyekben minden szavazó egyformán rendezi az $(a, b)$ párt, akkor az $F(\Pi)$ és $F(\Pi')$ közös preferenciák is egyformán rendezik az $(a, b)$ párt. **Ugyanez formulákkal, precízen:** - -Ha $(a \preceq_i b \iff a \preceq'_i b \ \forall i \in N)$ akkor $(a \preceq b \iff a \preceq' b),$ ahol $\preceq = F(\Pi)$ és $\preceq' = F(\Pi')$. +Ha $(a \preceq_i b \iff a \preceq'_i b \ \forall i \in N)$, akkor $(a \preceq b \iff a \preceq' b)$, ahol $\preceq = F(\Pi)$ és $\preceq' = F(\Pi')$. Ilyen mechanizmusok: - `Jóváhagyásos szavazás:` - - 1. **Szavazás:** Minden szavazó tetszőleges számú alternatívát jóváhagyhat + 1. **Szavazás:** Minden szavazó tetszőleges számú alternatívát jóváhagyhat. 2. **Győztes:** Az az alternatíva nyer, amelyiket a legtöbben jóváhagyták. - `Többségi szavazás:` - 1. **Szavazás:** Minden szavazó egy alternatívát választ. 2. **Győztes:** Az az alternatíva nyer, amelyiket a legtöbben választottak. - `Borda-szavazás:` - - 1. **Rangsorolás:** Minden szavazó rangsorolja az összes alternatívát. Ha van $( k )$ alternatíva, akkor az első helyezett $(k-1)$ pontot kap, a második helyezett $(k-2 )$ pontot, és így tovább, az utolsó helyezett 0 pontot kap. + 1. **Rangsorolás:** Minden szavazó rangsorolja az összes alternatívát. Ha van $k$ alternatíva, akkor az első helyezett $(k-1)$ pontot kap, a második helyezett $(k-2)$ pontot, és így tovább, az utolsó helyezett 0 pontot kap. 2. **Pontok összesítése:** Az összes szavazó által adott pontokat összeadják minden alternatívára. 3. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik a legtöbb pontot kapta. -- `Copeland-szavazás` - +- `Copeland-szavazás:` 1. **Páros összehasonlítások:** Minden alternatívát összehasonlítanak minden más alternatívával egy-egy páros versenyben. Az egyes páros versenyekben az az alternatíva nyer, amelyik több szavazatot kap. 2. **Pontozás:** Minden alternatíva kap egy pontot minden egyes nyert páros versenyért, és fél pontot minden döntetlenért. 3. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik a legtöbb pontot gyűjtötte össze a páros versenyek során. -- `Condorcet-szavazás` - - 1. **Páros összehasonlítások:** Minden alternatívát összehasonlítanak minden más alternatívával egy-egy páros versenyben. Az egyes páros versenyekbennaz az alternatíva nyer, amelyik több szavazatot kap. - 2. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik minden más alternatívával szemben nyer. +- `Condorcet-szavazás:` + 1. **Páros összehasonlítások:** Minden alternatívát összehasonlítanak minden más alternatívával egy-egy páros versenyben. Az egyes páros versenyekben az az alternatíva nyer, amelyik több szavazatot kap. + 2. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik minden más alternatívával szemben nyer. ### Extrém alternatíva @@ -473,76 +454,76 @@ Az alternatívák egy $\preceq$ rendezésében a $\preceq$ szerinti legjobb és ### Lemma az extrém alternatívákról -Tegyük fel, hogy az $F$ TVSZ független a lényegtelen alternatíváktól. Ha ekkor T extrém alternatíva a $\Pi$ választási profilban szereplő minden $\preceq_i$ preferenciarendezésben, akkor T extrém alternatíva a közös $F(\Pi)$ rendezésben is. +Tegyük fel, hogy az $F$ TVSZ független a lényegtelen alternatíváktól. Ha ekkor $T$ extrém alternatíva a $\Pi$ választási profilban szereplő minden $\preceq_i$ preferenciarendezésben, akkor $T$ extrém alternatíva a közös $F(\Pi)$ rendezésben is. + +--- ## 13. Jóváhagyásos, többségi, diktatórikus szavazás. Borda- és Copeland-szavazások. Condorcet-győztes, Condorcet-konzisztencia. Arrow-tétel* - `Jóváhagyásos szavazás:` - - 1. **Szavazás:** Minden szavazó tetszőleges számú alternatívát jóváhagyhat + 1. **Szavazás:** Minden szavazó tetszőleges számú alternatívát jóváhagyhat. 2. **Győztes:** Az az alternatíva nyer, amelyiket a legtöbben jóváhagyták. - `Többségi szavazás:` - 1. **Szavazás:** Minden szavazó egy alternatívát választ. 2. **Győztes:** Az az alternatíva nyer, amelyiket a legtöbben választottak. - `Borda-szavazás:` - - 1. **Rangsorolás:** Minden szavazó rangsorolja az összes alternatívát. Ha van $( k )$ alternatíva, akkor az első helyezett $(k-1)$ pontot kap, a második helyezett $(k-2 )$ pontot, és így tovább, az utolsó helyezett 0 pontot kap. + 1. **Rangsorolás:** Minden szavazó rangsorolja az összes alternatívát. Ha van $k$ alternatíva, akkor az első helyezett $(k-1)$ pontot kap, a második helyezett $(k-2)$ pontot, és így tovább, az utolsó helyezett 0 pontot kap. 2. **Pontok összesítése:** Az összes szavazó által adott pontokat összeadják minden alternatívára. 3. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik a legtöbb pontot kapta. - `Diktatórikus szavazás:` + 1. **Szavazás:** Egy diktátor minden szavazásban egy alternatívát választ. + 2. **Győztes:** Az az alternatíva nyer, amelyiket a diktátor választott. - 1. **Szavazás:** Egy diktátor minden szavazásban egy alternatívát választ. - 2. **Győztes:** Az a alternatíva nyer, amelyiket a diktátor választott. - -- `Copeland-szavazás`(*Concordet konzisztens*) - - 1. **Páros összehasonlítások:** Minden alternatívát összehasonlítanak minden más alternatívával egy-egy páros versenyben. Az egyes páros versenyekben az az alternatíva nyer, amelyik több szavazatot kap. - 2. **Pontozás:** Minden alternatíva kap egy pontot minden egyes nyert páros versenyért, és fél pontot minden döntetlenért. - 3. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik a legtöbb pontot gyűjtötte össze a páros versenyek során. +- `Copeland-szavazás` (*Condorcet konzisztens*) + 1. **Páros összehasonlítások:** Minden alternatívát összehasonlítanak minden más alternatívával egy-egy páros versenyben. Az egyes páros versenyekben az az alternatíva nyer, amelyik több szavazatot kap. + 2. **Pontozás:** Minden alternatíva kap egy pontot minden egyes nyert páros versenyért, és fél pontot minden döntetlenért. + 3. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik a legtöbb pontot gyűjtötte össze a páros versenyek során. ### Condorcet-győztes Az az alternatíva, amelyik minden más alternatívával szemben nyer a páros versenyekben. -- `Condorcet-szavazás` - - 1. **Páros összehasonlítások:** Minden alternatívát összehasonlítanak minden más alternatívával egy-egy páros versenyben. Az egyes páros versenyekben az az alternatíva nyer, amelyik több szavazatot kap. - 2. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik minden más alternatívával szemben nyer. +- `Condorcet-szavazás:` + 1. **Páros összehasonlítások:** Minden alternatívát összehasonlítanak minden más alternatívával egy-egy páros versenyben. Az egyes páros versenyekben az az alternatíva nyer, amelyik több szavazatot kap. + 2. **Győztes meghatározása:** Az az alternatíva nyer, amelyik minden más alternatívával szemben nyer. ### Condorcet-konzisztencia - Egy szavazási mechanizmus `Condorcet-konzisztens`, ha a Condorcet-győztes nem veszíthet. ### Arrow-tétel Ha $|A| > 2$, továbbá az $F$ TVSZ egyhangú és független a lényegtelen alternatíváktól, akkor $F$ diktatórikus. -## 14. Szavazási mechanizmusok manipulálhatósága és taktikázásbiztossága. Gibbard-Satterthwaite-tét +--- + +## 14. Szavazási mechanizmusok manipulálhatósága és taktikázásbiztossága. Gibbard-Satterthwaite-tétel + ### Manipulálhatóság -Az $f : L^n \rightarrow A$ TVF manipulálható, ha van olyan $\Pi = (\preceq_1,...,\preceq_n)$ választási profil és $\preceq_i'$ preferenciarendezés, amire $f(\Pi) \preceq_i f(\Pi_{-i}, \preceq_i')$ teljesül. Ha egy $f$ TVF nem manipulálható, akkor $f$-et taktikázásbiztosnak is nevezzük. +Az $f : L^n \to A$ TVF manipulálható, ha van olyan $\Pi = (\preceq_1, \dots, \preceq_n)$ választási profil és $\preceq_i'$ preferenciarendezés, amire $f(\Pi) \preceq_i f(\Pi_{-i}, \preceq_i')$ teljesül. Ha egy $f$ TVF nem manipulálható, akkor $f$-et taktikázásbiztosnak is nevezzük. -### Szürjektívítás +### Szurjektivitás -Az $f : L^n \rightarrow A$ TVF szürjektív, ha minden $a \in A$ alternatíva esetén van olyan $\Pi = (\preceq_1,...,\preceq_n)$ választási profil, amire $f(\Pi) = a$. +Az $f : L^n \to A$ TVF szurjektív, ha minden $a \in A$ alternatíva esetén van olyan $\Pi = (\preceq_1, \dots, \preceq_n)$ választási profil, amire $f(\Pi) = a$. Vagyis szurjektivitás a szavazási elméletben azt jelenti, hogy az alternatívák halmazában ($A$) minden lehetséges kimenetelhez (alternatívához) létezik legalább egy olyan szavazási profil ($\Pi$), amelyben az adott kimenetel kerül kiválasztásra. Ez biztosítja, hogy a szavazási függvény ($f$) bármilyen lehetséges kimenetelt elő tud állítani a megfelelő szavazói preferenciák megadása esetén. ### Gibbard-Satterthwaite-tétel -Ha az $f$ TVF taktikázásbiztos, szürjektív és $|A| \geq 3$, akkor $f$ diktatórikus. +Ha az $f$ TVF taktikázásbiztos, szurjektív és $|A| \geq 3$, akkor $f$ diktatórikus. + +--- ## 15. Árverési mechanizmusok, taktikázásbiztosság, szubvenció- és veszteségmentesség. Második áras árverés, Clarke-szabállyal definiált Vickrey-Clarke-Groves-mechanizmus, és annak taktikázásbiztossága* -Adott a licitálók $N = \{1, 2, \dots, n\}$ és az alternatívák $A$ halmaza. Az $i$-edik licitáló számára az $a \in A$ alternatíva értékét $\hat{v_i}(a) \in \mathbb{R}$ jelöli. Ennyi pénzt ér meg az $i$-edik licitáló számára az a kimenet, hogy a végső döntés az alternatíva kiválasztása. Az árverés során minden licitálónak meg kell adnia egy licitet. A licit nem más, mint minden alternatívához egy licitérték hozzárendelése. Az $i$-edik licitáló licitje tehát egy $v_i : A \to \mathbb{R}$ függvény, ahol $v_i(a)$ jelenti az $i$-edik licitálónak az $ a $ alternatívára vonatkozó licitjét. Az $i$-edik licitáló lehetséges licitjeinek halmazát $S_i$ jelöli, $S = S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$ pedig a lehetséges licitprofilok halmaza: ha $v \in S$, akkor $v = (v_1, \dots, v_n)$. (Itt is elkövettük a jelölésrendszer korábban megszokott abúzusát, és $(v_{-i}, \hat{v}_i)$-val ezt a licitprofilt jelöljük, amit $v$-ből úgy kapunk, hogy az $i$-edik licitjét $v_i$-ből $\hat{v}_i$-re cseréljük.) +Adott a licitálók $N = \{1, 2, \dots, n\}$ és az alternatívák $A$ halmaza. Az $i$-edik licitáló számára az $a \in A$ alternatíva értékét $\hat{v_i}(a) \in \mathbb{R}$ jelöli. Ennyi pénzt ér meg az $i$-edik licitáló számára az a kimenet, hogy a végső döntés az alternatíva kiválasztása. Az árverés során minden licitálónak meg kell adnia egy licitet. A licit nem más, mint minden alternatívához egy licitérték hozzárendelése. Az $i$-edik licitáló licitje tehát egy $v_i : A \to \mathbb{R}$ függvény, ahol $v_i(a)$ jelenti az $i$-edik licitálónak az $a$ alternatívára vonatkozó licitjét. Az $i$-edik licitáló lehetséges licitjeinek halmazát $S_i$ jelöli, $S = S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n$ pedig a lehetséges licitprofilok halmaza: ha $v \in S$, akkor $v = (v_1, \dots, v_n)$. (Itt is elkövettük a jelölésrendszer korábban megszokott abúzusát, és $(v_{-i}, \hat{v}_i)$-val ezt a licitprofilt jelöljük, amit $v$-ből úgy kapunk, hogy az $i$-edik licitjét $v_i$-ből $\hat{v}_i$-re cseréljük.) ### Árverési mechanizmusok -Az árverési mechanizmus egy $\mathcal{M} = (f, p_1, \dots, p_n)$ $(n + 1)$-es, ahol $f : S \to A$ és $p_i : S \to \mathbb{R}$ függvények. Az $\mathcal{M}$ árverési mechanizmus a következőképp működik: a licitálók licitjei alapján az $f$ licitprofil független alternatívát választ ki, azaz $f(v) \in A$, és ezért a licitálók kifizetéseit a $p$ függvények írják le, azaz $i$-edik konkrétan $p_i(v)$ összeget fizet. Miután ez az árverés lezajlott, az $i$-edik licitáló nyeresége a kimeneti alternatíva értéke az $i$-edik licitáló számára különbsége a kifizetése és a választott alternatíva értéke között : +Az árverési mechanizmus egy $\mathcal{M} = (f, p_1, \dots, p_n)$ $(n + 1)$-es, ahol $f : S \to A$ és $p_i : S \to \mathbb{R}$ függvények. Az $\mathcal{M}$ árverési mechanizmus a következőképp működik: a licitálók licitjei alapján az $f$ licitprofil független alternatívát választ ki, azaz $f(v) \in A$, és ezért a licitálók kifizetéseit a $p$ függvények írják le, azaz $i$-edik konkrétan $p_i(v)$ összeget fizet. Miután ez az árverés lezajlott, az $i$-edik licitáló nyeresége a kimeneti alternatíva értéke az $i$-edik licitáló számára különbsége a kifizetése és a választott alternatíva értéke között: $$ u_i(v) = v_i(f(v)) - p_i(v). @@ -553,16 +534,14 @@ $$ Egy fontos tulajdonság, a **taktikázásbiztosság** azt jelenti, hogy az $i$-edik licitáló úgy ér el maximális nyereséget, ha az igazat mondja, azaz valódi értékfüggvényét adja meg licitként, minden esetben, amikor az összes többi licitáló is így tesz. Az ilyen árverési mechanizmusokat taktikázásbiztosnak nevezzük. A pontos definíció a következő: Az $\mathcal{M} = (f, p_1, \dots, p_n)$ árverési mechanizmus `taktikázásbiztos`, ha - $$ u_i(v_{-i}, \hat{v}_i) \leq u_i(v_{-i}, v_i) $$ - teljesül minden $v \in S$ licitprofilra és minden $i \in N$ licitálóra. ### Szubvenció- és veszteségmentesség -Egy konkrét VCG-mechanizmust akkor nevezünk `szubvenciómentesnek`, ha $p_i(v) ≥ 0$ teljesül minden $v ∈ S$ licitprofil és minden $i ∈ N$ licitáló esetén. +Egy konkrét VCG-mechanizmust akkor nevezünk `szubvenciómentesnek`, ha $p_i(v) \geq 0$ teljesül minden $v \in S$ licitprofil és minden $i \in N$ licitáló esetén. Egy konkrét VCG-mechanizmust akkor nevezünk `veszteségmentesnek`, hogyha egy licitáló őszintén licitál, akkor nem éri veszteség. @@ -575,46 +554,49 @@ Minden licitáló megad egy licitet, és a nyertes az lesz, aki a legtöbbet aj #### Clarke-szabály $$ -h_i(\underline{V_{-i}}) = max_{a \in A}\sum_{i \neq j}v_j(a) +h_i(\underline{V_{-i}}) = \max_{a \in A}\sum_{j \neq i}v_j(a) $$ #### Vickrey-Clarke-Groves-mechanizmus -$\underline{V}_{-i} \in S$-re $f(\underline{V})$ az az $a\in A$ alternatíva, ami maximalizálja a $V_1(a) + V_2(a) + \dots + V_n(a)$ összértéket. +$\underline{V}_{-i} \in S$-re $f(\underline{V})$ az az $a \in A$ alternatíva, ami maximalizálja a $V_1(a) + V_2(a) + \dots + V_n(a)$ összértéket. $p_i(\underline{V}) = h_i(\underline{V}_{-i}) - \sum_{j \neq i}v_j(f(\underline{X}))$, ahol $h_i$ egy rögzített függvény. -***taktikázásbiztos*** +***Taktikázásbiztos*** + +--- ## 16. Újraosztási feladat, erős mag. Felső körcsere (TTC) algoritmus. Shapley-Scarf-tétel* ### Újraosztási feladat -Az újraelosztási feladatban minden játékos rendelkezik egy-egy jószággal, és bár ennél többre nincs ugyan szüksége, irigyelheti más játékos jószágát. Úgy szeretnénk újraelosztani a játékosok között a javaikat, hogy senki se járjon rosszul (ami önmagában nem nehéz: mindenki tartsa meg a maga jószágát), és emellett mindenki a számára lehető legjobbat kapja a számára elérhető jószágok közül. Az irodalomban lakáspiac néven fut ez a modell, aholis a játékosok $N = \{1,2,..., n\}$ halmazának elemei a lakástulajdonosok, a jószágok pedig a lakásaik. Minden lakástulajdonos rendelkezik egy preferenciarendezéssel a piacon található lakásokon (az i tulajdonosét, jelöli), ami formálisan egy lineáris rendezés az N halmazon: $j \preceq_i k$ azt jelenti, hogy az $i$ tulajdonos számára a $k$ tulajdonos lakása jobb, mint a j tulajdonosé. A probléma inputja tehát a tulajdonosok N halmaza és a $\Pi = (\preceq_1,...,\preceq_n) \in P^n$ preferenciaprofil, ahol $P$ jelöli az $N$ halmaz lineáris rendezéseinek halmazát. Az újraelosztási mechanizmus egy $f: P^n \rightarrow S_N$ leképezés, ahol $S_y$ az $N$ halmaz permutációinak halmazát jelöli. A mechanizmus által szolgáltatott konkrét újraelosztást az $f(\Pi) = \sigma$ output-permutáció írja le: $\sigma(i) = j$ azt jelenti, hogy az $i$ lakástulajdonos a $j$ tulajdonos lakását kapja a sajátjáért cserébe (amit persze a $σ^{-1} (i)$ tulajdonos fog elfoglalni). Az újraelosztási mechanizmussal kap- csolatban természetes az alábbi elvárás. - +Az újraelosztási feladatban minden játékos rendelkezik egy-egy jószággal, és bár ennél többre nincs ugyan szüksége, irigyelheti más játékos jószágát. Úgy szeretnénk újraelosztani a játékosok között a javaikat, hogy senki se járjon rosszul (ami önmagában nem nehéz: mindenki tartsa meg a maga jószágát), és emellett mindenki a számára lehető legjobbat kapja a számára elérhető jószágok közül. Az irodalomban lakáspiac néven fut ez a modell, aholis a játékosok $N = \{1, 2, \dots, n\}$ halmazának elemei a lakástulajdonosok, a jószágok pedig a lakásaik. Minden lakástulajdonos rendelkezik egy preferenciarendezéssel a piacon található lakásokon (az $i$ tulajdonosét $\preceq_i$ jelöli), ami formálisan egy lineáris rendezés az $N$ halmazon: $j \preceq_i k$ azt jelenti, hogy az $i$ tulajdonos számára a $k$ tulajdonos lakása jobb, mint a $j$ tulajdonosé. A probléma inputja tehát a tulajdonosok $N$ halmaza és a $\Pi = (\preceq_1, \dots, \preceq_n) \in P^n$ preferenciaprofil, ahol $P$ jelöli az $N$ halmaz lineáris rendezéseinek halmazát. Az újraelosztási mechanizmus egy $f: P^n \to S_N$ leképezés, ahol $S_N$ az $N$ halmaz permutációinak halmazát jelöli. A mechanizmus által szolgáltatott konkrét újraelosztást az $f(\Pi) = \sigma$ outputpermutáció írja le: $\sigma(i) = j$ azt jelenti, hogy az $i$ lakástulajdonos a $j$ tulajdonos lakását kapja a sajátjáért cserébe (amit persze a $\sigma^{-1} (i)$ tulajdonos fog elfoglalni). Az újraelosztási mechanizmussal kapcsolatban természetes az alábbi elvárás. #### Gyengén blokkoló koalíció -Legyen $σ∈ S_N$ egy rögzített újraelosztás. Lakástulajdonosok egy $B \subseteq N$ halmaza a $\sigma$ újraelosztást gyengén blokkoló koalíciót alkot, ha a $B$-beli tulajdonosok el tudják osztani a saját lakásaikat egymás között úgy, hogy senki se járjon rosszabbul, mint a $\sigma$ újraelosztás mellett, és legalább egy $B$-beli tulajdonos helyzete határozottan javuljon $\sigma$-hoz képest. Formálisan: a $B$ halmaz akkor blokkolja gyengén $\sigma$-t, ha van olyan ∈ S_B permutáció $B$-n és olyan $i ∈ B$ tulajdonos, hogy $\sigma(i) \preceq_i π(i)$ mellett $\sigma(j) \preceq_j π(j)$ teljesül minden $j ∈ B$ lakástulajdonosra. -Az erős mag mindazon $\sigma∈ S_N$ újraelosztásokból áll, amelyeket egyetlen koalíció sem blokkol gyengén. +Legyen $\sigma \in S_N$ egy rögzített újraelosztás. Lakástulajdonosok egy $B \subseteq N$ halmaza a $\sigma$ újraelosztást gyengén blokkoló koalíciót alkot, ha a $B$-beli tulajdonosok el tudják osztani a saját lakásaikat egymás között úgy, hogy senki se járjon rosszabbul, mint a $\sigma$ újraelosztás mellett, és legalább egy $B$-beli tulajdonos helyzete határozottan javuljon $\sigma$-hoz képest. Formálisan: a $B$ halmaz akkor blokkolja gyengén $\sigma$-t, ha van olyan $\pi \in S_B$ permutáció $B$-n és olyan $i \in B$ tulajdonos, hogy $\sigma(i) \preceq_i \pi(i)$ mellett $\sigma(j) \preceq_j \pi(j)$ teljesül minden $j \in B$ lakástulajdonosra. +Az erős mag mindazon $\sigma \in S_N$ újraelosztásokból áll, amelyeket egyetlen koalíció sem blokkol gyengén. ### Erős mag Az erős mag azon $\sigma \in S_N$ újraelosztások halmaza, amelyeket egyetlen koalíció sem blokkol gyengén. -### TTC algoritmus +### TTC-algoritmus (Top Trading Cycle) -Minden tulajdonos rámutat a számára legjobb lakásra(akár a sajátjára). Gráfként ábrázolva minden ki-fok = 1 --> létezik kör. +Minden tulajdonos rámutat a számára legjobb lakásra (akár a sajátjára). Gráfként ábrázolva minden kifok = 1 $\Rightarrow$ létezik kör. -$N_1$: Kör mentén a $\rightarrow$ lakástulajdonosok halmaza +$N_1$: Kör mentén a $\to$ lakástulajdonosok halmaza. -$N_1$ Cserél egymás közt a kör mentén és az eljárást $N - N_1$-en folytatjuk. +$N_1$ cserél egymás közt a kör mentén, és az eljárást $N \setminus N_1$-en folytatjuk. -Az eljárárás végén kapjuk a $\sigma$ szétosztást. +Az eljárás végén kapjuk a $\sigma$ szétosztást. ### Shapley-Scarf-tétel -A TTC outputja az erős mag egyetlen eleme. +A TTC outputja az erős mag egyetlen eleme. + +--- ## 17. Csoportos taktikázásbiztosság fogalma, a felső körcsere algoritmus csoportos taktikázásbiztossága*, Piaci egyensúly létezése és erős magbelisége* @@ -627,36 +609,37 @@ Egy mechanizmus akkor `csoportosan taktikázásbiztos`, ha a lakástulajdonosok A felső körcsere algoritmus csoportosan taktikázásbiztos a lakáspiac-modellben megfogalmazott újraelosztási feladatra. **Bizonyítás:** +Tegyük fel, hogy a felső körcsere algoritmus outputja a $\sigma = f(\Pi)$ permutáció, $M \subseteq N$ a lakástulajdonosok egy tetszőleges részhalmaza és $\Pi_M \in P^{|M|}$ egy preferenciaprofil $M$-en. Futtassuk a felső körcsere algoritmust a $\Pi$ és a $\Pi' = (\Pi_{-M}, \Pi_M)$ profilokon, utóbbi esetben az $M$-beli tulajdonosok $\Pi$-beli preferenciáit cseréljük ki a $\Pi_M$-beliekre. Azt fogjuk igazolni, hogy ha $\sigma' = f(\Pi') \neq \sigma$, akkor van olyan $M$-beli tulajdonos, aki rosszabb lakást kap az ügyeskedés miatt, azaz $\sigma'(i) \preceq_i \sigma(i)$. - Tegyük fel, hogy a felső körcsere algoritmus outputja a $\sigma = f(\Pi)$ permutáció, $M \subseteq N$ a lakástulajdonosok egy tetszőleges részhalmaza és és $\Pi_M \in P^{|M|}$ egy preferenciaprofil $M$-en. Futtassuk a felső körcsere algoritmust a $\Pi$ és a $\Pi' = (\Pi_{-M}, \Pi_M)$ profilokon, utóbbi esetben az $M$-beli tulajdonosok $\Pi$-beli preferenciáit cseréljük ki a $\Pi_M$-beliekre. Azt fogjuk igazolni, hogy ha $σ' = f(Π') ≠ 0$, akkor van olyan $M$-beli tulajdonos, aki rosszabb lakást kap az ügyeskedés miatt, azaz $\sigma'(i) \preceq_i \sigma(i)$. - -$\Pi$-n ill. $\Pi'$-n futtatott TTC által eliminált közös körökben szereplő tulajdonosok elhagyásával elérhetjük, hogy a felső körcsere algoritmus futtatásával kapott $\sigma$ és $\sigma'$ kimenetekben szereplő körök páronként különbözők legyenek. Legyen tehát $C$ a legelső cserekör, amit a $\Pi$ profilon futtatott felső körcsere algoritmus megtalál. A feltevés miatt C-ben van olyan $i$ tulajdonos, akire $σ(i) ≠ \sigma'$(i), azaz különböző lakást kap, mint ha $\Pi'$-n futtatnánk a TTC-t. Ekkor $σ' (i) \preceq_i σ(i)$, hiszen $σ(i)$ első helyen áll az $i$ tulajdonos preferenciarendezésében. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy $\preceq_i'≠ \preceq_i$, azaz az $i$ tulajdonos nem a $\Pi$-beli preferenciáival vesz részt a TTC-ben, ezért aztán $i ∈ M$. Ezek szerint az $M$-beli tulajdonosok nem tudják sikeresen manipulálni a TTC algoritmust, ez pedig a tételben állított csoportos taktikázásbiztosságot igazolja +$\Pi$-n ill. $\Pi'$-n futtatott TTC által eliminált közös körökben szereplő tulajdonosok elhagyásával elérhetjük, hogy a felső körcsere algoritmus futtatásával kapott $\sigma$ és $\sigma'$ kimenetekben szereplő körök páronként különbözők legyenek. Legyen tehát $C$ a legelső cserekör, amit a $\Pi$ profilon futtatott felső körcsere algoritmus megtalál. A feltevés miatt $C$-ben van olyan $i$ tulajdonos, akire $\sigma(i) \neq \sigma'(i)$, azaz különböző lakást kap, mintha $\Pi'$-n futtatnánk a TTC-t. Ekkor $\sigma'(i) \preceq_i \sigma(i)$, hiszen $\sigma(i)$ első helyen áll az $i$ tulajdonos preferenciarendezésében. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy $\preceq_i' \neq \preceq_i$, azaz az $i$ tulajdonos nem a $\Pi$-beli preferenciáival vesz részt a TTC-ben, ezért aztán $i \in M$. Ezek szerint az $M$-beli tulajdonosok nem tudják sikeresen manipulálni a TTC algoritmust, ez pedig a tételben állított csoportos taktikázásbiztosságot igazolja. ### Piaci egyensúly létezése és erős magbelisége* -Az $N$ tulajdonsághalmaz és $\Pi = (\preceq_1,...,\preceq_n)$ preferenciaprofil által meghatározott lakáspiacon a $p : N \rightarrow \mathbb{R}_+$ leképezés és $\sigma \in S_N$ együttesét `piaci egyensúlynak` nevezzük, ha $p(\sigma(i)) \leq p(i)$ melett $i \preceq_i j \Rightarrow p(j) > p(i)$ teljesül minden $i, j \in N$ esetén. +Az $N$ tulajdonoshalmaz és $\Pi = (\preceq_1, \dots, \preceq_n)$ preferenciaprofil által meghatározott lakáspiacon a $p : N \to \mathbb{R}_+$ leképezés és $\sigma \in S_N$ együttesét `piaci egyensúlynak` nevezzük, ha $p(\sigma(i)) \leq p(i)$ mellett $i \preceq_i j \Rightarrow p(j) > p(i)$ teljesül minden $i, j \in N$ esetén. #### Lemma -Tegyük fel, hogy $(p, \sigma)$ piaci egyensúly az $(N, \Pi)$ lakáspiacon és $C$ egyolyan kör, aminek a mentén a tulajdonosok lakást cserélnek a $\sigma$ permutációban. Ekkor $p(i) = p(j)$ teljesül minden $i, j \in C$ tulajdonosra, azaz a piaci egyensúlyban szereplő lakáscserék során minden tulajdonos a lakásának teljes vételárát az új lakásra fordítja. +Tegyük fel, hogy $(p, \sigma)$ piaci egyensúly az $(N, \Pi)$ lakáspiacon és $C$ egy olyan kör, aminek a mentén a tulajdonosok lakást cserélnek a $\sigma$ permutációban. Ekkor $p(i) = p(j)$ teljesül minden $i, j \in C$ tulajdonosra, azaz a piaci egyensúlyban szereplő lakáscserék során minden tulajdonos a lakásának teljes vételárát az új lakásra fordítja. ### Erős magbeliség Tegyük fel, hogy $(p, \sigma)$ piaci egyensúly az $(N, \Pi)$ lakáspiacon. Ekkor $\sigma$ az `erős mag egyik eleme`. +--- + ## 18. Stabil párosítások. Éltörlési lemma, lánykérő algoritmus, fiú-optimalitás. Stabil párosítások által fedett csúcshalmaz ### Stabil párosítások -Az általános házassági modellben dolgozunk. A játékosok mindegyike vagy fiú vagy lány és a köztük lehetséges házasságokat egy $G$ páros gráf írja le: ennek színosztályai a fiúk $F$ és a lányok $L$ halmazai, és egy $f$ él jelentése az, hogy $f$ és $l$ között lehetséges a házasság. Minden játékos rendelkezik egy $\preceq_a$ lineáris preferenciarendezéssel az $a$-ra illeszkedő éleken, azaz a potenciális házastársain. A cél egy $M$ párosítás mentén úgy összeházasítani a játékosokat, hogy lehetőleg senki se legyen elégedetlen. Ez utóbbi feltétel most a maghoz tartozást jelenti, azaz ne legyen az $M$ párosítás mellett blokkoló koalíció. Játékosok egy $B$ részhalmaza akkor blokkoló koalíció $M$-re nézve ha a $B$-beli játékosok képesek arra, hogy önerőből javítsák a helyzetüket, azaz ha van olyan $N$ párosítás $B$-n, ami egyetlen $B$-beli játékos számára sem rosszabb $M$-nél, de van legalább egy olyan $B$-beli játékos, aki $N$-nel jobban jár, mint $M$-mel. Utóbbi kitétel azt jelenti, hogy $b$ jobb párt kap $N$-ben, mint $M$-ben, vagy pedig $b$ fedetlen $M$-ben, de van párja $N$-ben. +Az általános házassági modellben dolgozunk. A játékosok mindegyike vagy fiú vagy lány, és a köztük lehetséges házasságokat egy $G$ páros gráf írja le: ennek színosztályai a fiúk $F$ és a lányok $L$ halmazai, és egy $f$ él jelentése az, hogy $f$ és $l$ között lehetséges a házasság. Minden játékos rendelkezik egy $\preceq_a$ lineáris preferenciarendezéssel az $a$-ra illeszkedő éleken, azaz a potenciális házastársain. A cél egy $M$ párosítás mentén úgy összeházasítani a játékosokat, hogy lehetőleg senki se legyen elégedetlen. Ez utóbbi feltétel most a maghoz tartozást jelenti, azaz ne legyen az $M$ párosítás mellett blokkoló koalíció. Játékosok egy $B$ részhalmaza akkor blokkoló koalíció $M$-re nézve, ha a $B$-beli játékosok képesek arra, hogy önerőből javítsák a helyzetüket, azaz ha van olyan $N$ párosítás $B$-n, ami egyetlen $B$-beli játékos számára sem rosszabb $M$-nél, de van legalább egy olyan $B$-beli játékos, aki $N$-nel jobban jár, mint $M$-mel. Utóbbi kitétel azt jelenti, hogy $b$ jobb párt kap $N$-ben, mint $M$-ben, vagy pedig $b$ fedetlen $M$-ben, de van párja $N$-ben. -Vizsgáljuk meg, hogyan is néz ki egy blokkoló koalíció! Tegyük fel, hogy a $B$ koalíció az $N$ párosítás mentén blokkolja az $M$ párosítást. Van tehát egy olyan $ba ∈ N$ él, amivel $b$ jobban jár az $M$-beli helyzetéhez képest. Ez azt jelenti, hogy a nem $b$-val élő párban $M$-ben, és mivel $a ∈ B$ is teljesül, ezért $a$-nak is jobban kell járnia a $ba$ éllel, mint $M$-mel. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges $B$ blokkoló koalíció tartalmaz egy kétfős blokkoló koalíciót. Ezért a maghoz tartozás eldöntésekor a fenti definíció helyett elegendő csupán annyit megkövetelni, hogy ne legyen blokkoló él, azaz kétfős blokkoló koalíció. +Vizsgáljuk meg, hogyan is néz ki egy blokkoló koalíció! Tegyük fel, hogy a $B$ koalíció az $N$ párosítás mentén blokkolja az $M$ párosítást. Van tehát egy olyan $ba \in N$ él, amivel $b$ jobban jár az $M$-beli helyzetéhez képest. Ez azt jelenti, hogy $a$ nem $b$-vel él párban $M$-ben, és mivel $a \in B$ is teljesül, ezért $a$-nak is jobban kell járnia a $ba$ éllel, mint $M$-mel. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges $B$ blokkoló koalíció tartalmaz egy kétfős blokkoló koalíciót. Ezért a maghoz tartozás eldöntésekor a fenti definíció helyett elegendő csupán annyit megkövetelni, hogy ne legyen blokkoló él, azaz kétfős blokkoló koalíció. -Adott a $G = (V, E)$ gráf és minden $v ∈ V$ csúcshoz a $v$-re illeszkedő élek $E(v)$ halmaza, ahol a $v$ csúcs preferenciáját leíró $≻v$ lineáris rendezés. Azt mondjuk, hogy $v$ számára az $e$ él jobb az $f$ élénél, ha $f ≻v e$. A $G$ gráf $M$ párosítása mellett az $uv$ él akkor nevezünk tehát blokkoló élnek, ha $u$ és $v$ is jobban jár az $uv$ éllel, mint $M$-mel, azaz ha $M$ alatt nem tartoznak olyan él sem, ami $u$ számára és olyan él sem, ami $v$ számára jobb az $uv$ élénél. Ha az $M$ párosítás mellett nincs blokkoló él, akkor $M$-et `stabil párosításnak` nevezzük. +Adott a $G = (V, E)$ gráf és minden $v \in V$ csúcshoz a $v$-re illeszkedő élek $E(v)$ halmaza, ahol a $v$ csúcs preferenciáját leíró $\succ_v$ lineáris rendezés. Azt mondjuk, hogy $v$ számára az $e$ él jobb az $f$ élénél, ha $f \succ_v e$. A $G$ gráf $M$ párosítása mellett az $uv$ élt akkor nevezünk tehát blokkoló élnek, ha $u$ és $v$ is jobban jár az $uv$ éllel, mint $M$-mel, azaz ha $M$ alatt nem tartoznak olyan élhez sem, ami $u$ számára és olyan élhez sem, ami $v$ számára jobb az $uv$ élénél. Ha az $M$ párosítás mellett nincs blokkoló él, akkor $M$-et `stabil párosításnak` nevezzük. ### Éltörlési lemma -Legyen $G = (V,E)$ irányítatlan gráf és legyen $\preceq_v$ lineáris rendezés a $v$-re illeszkedő élek $E(v)$ halmazán minden $v \in V$ esetén. Tegyük fel, hogy az $u$ csúcs legjobb éle $e = uv$, és $e \succ_v f = wv$, azaz $v$ számára $e$ jobb, mint $f$. Ekkor a $G$ és a $G - f$ gráfoknak ugyan azok a stabil párosításai. +Legyen $G = (V, E)$ irányítatlan gráf és legyen $\preceq_v$ lineáris rendezés a $v$-re illeszkedő élek $E(v)$ halmazán minden $v \in V$ esetén. Tegyük fel, hogy az $u$ csúcs legjobb éle $e = uv$, és $e \succ_v f = wv$, azaz $v$ számára $e$ jobb, mint $f$. Ekkor a $G$ és a $G - f$ gráfoknak ugyanazok a stabil párosításai. ### Lánykérő algoritmus @@ -666,29 +649,30 @@ Legyen $G = (V,E)$ irányítatlan gráf és legyen $\preceq_v$ lineáris rendez 4. Ha volt elutasítás, akkor a fiúk, akiket elutasítottak, megpróbálják a következő legszimpatikusabb lányt megkérni. **Output:** - -- Stabil párosítás -- `Fiú optimális`, vagyis minden fiú számára a legjobb lányt kapja. Míg minden lány a legrosszabb olyan fiút kapja, aki a párosításban számára elérhető. +- Stabil párosítás. +- `Fiú-optimális`, vagyis minden fiú számára a legjobb lányt kapja, míg minden lány a legrosszabb olyan fiút kapja, aki a párosításban számára elérhető. ### Stabil párosítások által fedett csúcshalmaz Ha $M_1$ és $M_2$ az élpreferenciákkal ellátott (nem feltétlen páros) $G$ gráf két stabil párosítása, akkor $V(M_1) = V(M_2)$, azaz a $G$ gráf bármelyik stabil párosítását is választjuk, mindig ugyanazok a csúcsok lesznek kipárosítva és ugyanazok maradnak fedetlenek. +--- + ## 19. Egyetemi felvételi probléma és annak visszavezetése stabil párosítások keresésére. Ponthatárhúzási feladat, stabil ponthatár. Ponthatárnövelő és -csökkentő algoritmus, valamint azok helyessége* ### Felvételi séma -`Felvételi séma` alatt egy olyan $F ⊆ E$ élhalmazt értünk, amelyikre igaz, hogy minden $t ∈ T$ jelentkező legfeljebb 1, minden $s$ szak pedig legfeljebb $q_s$ $F$-beli élnek csúcsa. Egy felvételi séma tehát jelentkezések egy olyan halmaza, ami megvalósítható: egyetlen jelentkezőnek sem tartalmazza egynél több jelentkezését és egyetlen szak hallgatói létszáma sem haladja meg az adott szak keretszámát. +`Felvételi séma` alatt egy olyan $F \subseteq E$ élhalmazt értünk, amelyikre igaz, hogy minden $t \in T$ jelentkező legfeljebb 1, minden $s$ szak pedig legfeljebb $q_s$ $F$-beli élnek csúcsa. Egy felvételi séma tehát jelentkezések egy olyan halmaza, ami megvalósítható: egyetlen jelentkezőnek sem tartalmazza egynél több jelentkezését és egyetlen szak hallgatói létszáma sem haladja meg az adott szak keretszámát. ### Stabil felvételi séma -Egy $F$ felvételi séma akkor `stabil`, ha egyetlen él sem blokkolja. Itt blokkoló élen olyan $e = ts$ él értünk, amivel mindkét végpontja jobban járna, mint a séma szerinti élekkel: egyrészt tehát nincs olyan $f ∈ F$ él amire $e \preceq_t f$, másrészt pedig nincsenek olyan $f₁, ..., fₓ ∈ F$ élek sem, amelyekre $e \preceq_s fᵢ$ teljesül $i = 1, ..., q_s$ esetén. Egy $ts$ él tehát blokkol, ha a $t$ jelentkező felvették az $s$ szaknál preferáltabb szakra vagy ha az $s$ szak a teljes keretszámát egytől egyig tőle gyengébb jelentkezőkkel töltötte fel. +Egy $F$ felvételi séma akkor `stabil`, ha egyetlen él sem blokkolja. Itt blokkoló élen olyan $e = ts$ élt értünk, amivel mindkét végpontja jobban járna, mint a séma szerinti élekkel: egyrészt tehát nincs olyan $f \in F$ él amire $e \preceq_t f$, másrészt pedig nincsenek olyan $f_1, \dots, f_x \in F$ élek sem, amelyekre $e \preceq_s f_i$ teljesül $i = 1, \dots, q_s$ esetén. Egy $ts$ él tehát blokkol, ha a $t$ jelentkezőt felvették az $s$ szaknál preferáltabb szakra vagy ha az $s$ szak a teljes keretszámát egytől egyig tőle gyengébb jelentkezőkkel töltötte fel. -Az egyetemi felvételi probléma esetén a feladat egy stabil felvételi sémát keresése a fent leírt modellben. Világos, hogy ha minden létszámkorlát pontosan 1, akkor az egyetemi felvételi probléma egy páros gráf stabil párosításának keresésével ekvivalens. Megmutatjuk, hogy az egyetemi felvételi probléma 1-nél nagyobb keretszámok esetén is visszavezethető páros gráf stabil párosításának keresésére. +Az egyetemi felvételi probléma esetén a feladat egy stabil felvételi séma keresése a fent leírt modellben. Világos, hogy ha minden létszámkorlát pontosan 1, akkor az egyetemi felvételi probléma egy páros gráf stabil párosításának keresésével ekvivalens. Megmutatjuk, hogy az egyetemi felvételi probléma 1-nél nagyobb keretszámok esetén is visszavezethető páros gráf stabil párosításának keresésére. -### Stabil párosítások keresésére viszavezetés +### Stabil párosítások keresésére visszavezetés -A $G = (S ∪ T, E)$ gráf, ${q_s : s ∈ S}$ keretszámok és ${≻ₛ : s ∈ S}$, ${≻ₜ : t ∈ T}$ ill. ${≻ₛ : s ∈ S'}$ preferenciák által definiált egyetemi felvételi problémában $F$ pontosan akkor stabil felvételi séma, ha a $G'$ gráfnak van olyan $F'$ stabil párosítása, amire $F = P(F')$ teljesül. +A $G = (S \cup T, E)$ gráf, $\{q_s : s \in S\}$ keretszámok és $\{\succ_s : s \in S\}$, $\{\succ_t : t \in T\}$ ill. $\{\succ_s : s \in S'\}$ preferenciák által definiált egyetemi felvételi problémában $F$ pontosan akkor stabil felvételi séma, ha a $G'$ gráfnak van olyan $F'$ stabil párosítása, amire $F = P(F')$ teljesül. ### Ponthatárhúzási feladat @@ -696,41 +680,40 @@ Az előző részben tárgyalt egyetemi felvételi modell lényeges leegyszerűs ### Stabil ponthatár -Egy $l$ ponthatár pontosan akkor stabil, ha $l$ a $φ$ operátor fixpontja, azaz ha $l = φ(l)$ teljesül. Vagyis ha a minimum ponthatár, amivel még nem lépjük túl a keretszámokat megegyezik a ponthatárral. +Egy $l$ ponthatár pontosan akkor stabil, ha $l$ a $\varphi$ operátor fixpontja, azaz ha $l = \varphi(l)$ teljesül. Vagyis ha a minimum ponthatár, amivel még nem lépjük túl a keretszámokat, megegyezik a ponthatárral. ### Ponthatárnövelő és -csökkentő algoritmus -Tetszőleges vonalhúzási probléma esetén van stabil ponthatár. A ponthatárnövelő ill. a ponthatárcsökkentő algoritmusok $\underline{ℓ}$ ill. $\overline{ℓ}$ outputjai stabil ponthatárok, és tetszőleges $ℓ$ stabil ponthatárra $ℓ ≤ ℓ ≤ \overline{ℓ}$ teljesül. +Tetszőleges vonalhúzási probléma esetén van stabil ponthatár. A ponthatárnövelő ill. a ponthatárcsökkentő algoritmusok $\underline{l}$ ill. $\overline{l}$ outputjai stabil ponthatárok, és tetszőleges $l$ stabil ponthatárra $\underline{l} \leq l \leq \overline{l}$ teljesül. -Ha $ℓ ≤ ℓ'$ stabil ponthatárok, akkor az $ℓ$ ponthatár alkalmazása esetén legalább annyi jelentkezőt vesznek fel, mint az $ℓ'$ ponthatár alkalmazásával. Következésképp a legtöbb jelentkező a jelentkező-optimalis ponthatár alkalmazása esetén nyer felvételt. +Ha $l \leq l'$ stabil ponthatárok, akkor az $l$ ponthatár alkalmazása esetén legalább annyi jelentkezőt vesznek fel, mint az $l'$ ponthatár alkalmazásával. Következésképp a legtöbb jelentkező a jelentkező-optimális ponthatár alkalmazása esetén nyer felvételt. #### $\varphi$ monoton -$0 \leq \varphi(0) \leq \varphi(\varphi(0)) \leq \dots \varphi^{(k)}(0) \leq \dots$ - -lesz olyan, hogy $\varphi^{(k)}(0) = \varphi^{(k+1)}(0)$, azaz $\underline{ℓ} = \varphi^{(k)}(0)$ stabil ponthatár. +$0 \leq \varphi(0) \leq \varphi(\varphi(0)) \leq \dots \leq \varphi^{(k)}(0) \leq \dots$ +lesz olyan, hogy $\varphi^{(k)}(0) = \varphi^{(k+1)}(0)$, azaz $\underline{l} = \varphi^{(k)}(0)$ stabil ponthatár. -belátható ez a - -$500 \geq \varphi(500) \geq \varphi(\varphi(500)) \geq \dots \varphi^{(k)}(500) \geq \dots$ esetre is. +Belátható ez az +$500 \geq \varphi(500) \geq \varphi(\varphi(500)) \geq \dots \geq \varphi^{(k)}(500) \geq \dots$ esetre is. --- +**Bizonyítás.** Csupán a tétel második bekezdése szorul bizonyításra, az első részt még a tétel kimondása előtt igazoltuk. A második részhez pedig mindössze annyit kell megfigyelni, hogy egy jelentkező felvétele pusztán azon múlik, hogy van-e eredményes jelentkezése. -$Bizonyítás.$ Csupán a tétel második bekezdése szorul bizonyításra, az első részt még a tétel kimondása előtt igazoltuk. A második részhez pedig mindössze annyit kell megfigyelni, hogy egy jelentkező felvétele pusztán azon múlik, hogy van-e eredményes jelentkezése. +Márpedig ha egy $t$ jelentkezőnek az $s$ szakra történő jelentkezése az $l'$ ponthatár esetén eredményes, akkor ugyanez a jelentkezés $l$ esetén is eredményes. Ezért aztán minden jelentkező, akit az $l'$ ponthatár mellett felvesznek valamelyik szakra, felvételt nyer valahova az $l$ ponthatár alkalmazása esetén is. -Márpedig ha egy $t$ jelentkezőnek az $s$ szakra történő jelentkezése az $ℓ'$ ponthatár esetén eredményes, akkor ugyanez a jelentkezés $ℓ$ esetén is eredményes. Ezért aztán minden jelentkező, akit az $ℓ'$ ponthatár mellett felvesznek valamelyik szakra, felvételt nyer valahova az $ℓ$ ponthatár alkalmazása esetén is. +--- ## 20. Népszerű párosítások, stabil párosítások népszerűsége, Kavitha-algoritmus, és annak helyessége* ### Népszerű párosítások -M párosítás `népszerűbb` az N párosításnál, ha az M és N közti választás esetében többen szavaznak M-re, mint N-re. +$M$ párosítás `népszerűbb` az $N$ párosításnál, ha az $M$ és $N$ közti választás esetében többen szavaznak $M$-re, mint $N$-re. ### Stabil párosítások népszerűsége Ha $M$ stabil, akkor nem létezik $M$-nél kevesebb élt tartalmazó stabil párosítás. -Ha $M'$ a $G = (S ∪ T, E)$ gráf stabil párosítása, akkor $M'$-nek megfelelő $G$-beli élek $M = \{e \in E : \{e^p, e^z\} \cap M' \neq \emptyset \}$ +Ha $M'$ a $G = (S \cup T, E)$ gráf stabil párosítása, akkor $M'$-nek megfelelő $G$-beli élek $M = \{e \in E : \{e^p, e^z\} \cap M' \neq \emptyset \}$. ### Kavitha-algoritmus @@ -738,16 +721,11 @@ A Kavitha-algoritmus egy olyan algoritmus, amely népszerű párosításokat tal #### Lépések -1. **Kezdeti párosítás**: Kezdjünk egy tetszőleges párosítással $M$ a gráfban $G = (S \cup T, E)$. - +1. **Kezdeti párosítás**: Kezdjünk egy tetszőleges $M$ párosítással a $G = (S \cup T, E)$ gráfban. 2. **Preferenciák meghatározása**: Minden csúcs $s \in S$ és $t \in T$ preferenciákat rendel az élekhez. Azaz, minden csúcs rangsorolja az összes hozzá kapcsolódó élt. - 3. **Népszerűségi feltétel ellenőrzése**: Ellenőrizzük, hogy a jelenlegi párosítás $M$ népszerű-e. Egy párosítás akkor népszerű, ha nincs olyan másik párosítás, amelyet több csúcs preferál $M$-hez képest. - 4. **Javítási lépések**: Ha $M$ nem népszerű, akkor keressünk egy olyan élt, amely javíthatja a párosítást. Ezt úgy tehetjük meg, hogy egy augmentáló utat keresünk, amely növeli a párosítás méretét vagy javítja a népszerűséget. - 5. **Párosítás frissítése**: Frissítsük a párosítást az augmentáló út mentén. Ez azt jelenti, hogy az augmentáló út mentén váltogatjuk a párosított és nem párosított éleket. - 6. **Ismétlés**: Ismételjük meg a népszerűségi feltétel ellenőrzését és a javítási lépéseket, amíg nem találunk népszerű párosítást. -A kikosarazott fiúk "személyiségfejlesztő trainingen" vesznek részt, ahonnan a lehető legnépszerűbben térnek vissza. Trainingre csak egyszer lehet menni. +A kikosarazott fiúk "személyiségfejlesztő tréningen" vesznek részt, ahonnan a lehető legnépszerűbben térnek vissza. Tréningre csak egyszer lehet menni. \ No newline at end of file