From 3b1d8370997b9d8dea58d36928afb40f75511f86 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Chayanon Somatanai Date: Sun, 21 Jun 2026 15:57:25 +0700 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?add(analysis-001):=20cosine=20power?= =?UTF-8?q?=E2=80=93cosine=20Fourier=20integral=20with=20two=20proofs?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- README.md | 5 +- ...analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ | 673 ++++++++++++++++ .../analysis-001-cos-power-cos-integral.typ | 741 ++++++++++++++++++ 3 files changed, 1417 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ create mode 100644 problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ diff --git a/README.md b/README.md index 4f201e1..ec0af90 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -38,13 +38,14 @@ their tags. | # | Problem | Topics | Source | Solved | |---|---------|--------|--------|--------| +| 001 | Cosine Power–Cosine Fourier Integral | calculus, definite-integral, special-functions, gamma-function, beta-function, complex-analysis, fourier-analysis, trigonometry, induction, analytic-continuation, combinatorics | Romanian Mathematical Magazine, proposed by K. Srinivasa Raghava | 2026-06-21 | | 001 | A Nested Floor–Ceiling Integral | calculus, floor-ceiling, definite-integral | [MIT Integration Bee 2026, Qualifying Round, #15](https://math.mit.edu/~yyao1/pdf/qualifying_round_2026_answers.pdf) | 2026-06-20 | -- 1 problem solved -- Topics covered: calculus, definite-integral, floor-ceiling +- 2 problems solved +- Topics covered: analytic-continuation, beta-function, calculus, combinatorics, complex-analysis, definite-integral, floor-ceiling, fourier-analysis, gamma-function, induction, special-functions, trigonometry ## Building diff --git a/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ new file mode 100644 index 0000000..bd6a3ba --- /dev/null +++ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ @@ -0,0 +1,673 @@ +#import "../src/template.typ": * +#import "../src/theorems.typ": theorem, lemma, corollary, proposition, definition, proof, insight, step, remark, example +#import "../src/components.typ": comparison, figure-image, cite, numbered, answer, diagram +#import "../src/style.typ": default-theme +#import "@preview/cetz:0.3.4" + +#show: doc.with( + title: "อินทิกรัลโคไซน์กำลัง–โคไซน์เฟอริเยร์", + source: "Romanian Mathematical Magazine, เสนอโดย K. Srinivasa Raghava", + source_url: none, + source_license: "All rights reserved", + date: "2026-06-21", + tags: ("calculus", "definite-integral", "special-functions", "gamma-function", "beta-function", "complex-analysis", "fourier-analysis", "trigonometry", "induction", "analytic-continuation", "combinatorics"), + prerequisites: ( + (name: "อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction"), + (name: "การอินทิเกรตทีละส่วน", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts"), + (name: "เอกลักษณ์ผลคูณ–ผลรวม", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities"), + (name: "สูตรออยเลอร์", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula"), + (name: "ทฤษฎีบททวินาม", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem"), + (name: "ฟังก์ชันแกมมา", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function"), + (name: "ฟังก์ชันเบตา", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function"), + (name: "สูตรสะท้อนออยเลอร์", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula"), + (name: "การต่อเชิงวิเคราะห์", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_continuation"), + (name: "ทฤษฎีบทคาร์ลสัน", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem"), + ), + resources: ( + (title: "อินทิกรัลวอลลิส (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals"), + (title: "ทฤษฎีบททวินาม (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem"), + (title: "เอกลักษณ์ Vandermonde–Chu / ผลรวมฟังก์ชันเบตา (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity"), + (title: "สูตรออยเลอร์ (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula"), + (title: "สูตรสะท้อนออยเลอร์ (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula"), + (title: "สูตรทวีกำลังเลอฌ็องดร์ (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem#Legendre_duplication_formula"), + (title: "ทฤษฎีบทคาร์ลสัน (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem"), + (title: "กระทู้ที่เกี่ยวข้อง (Math StackExchange, CC BY-SA 4.0)", url: "https://math.stackexchange.com/questions/456899"), + ), +) + += โจทย์ + +สำหรับ $beta > alpha > -1$ จงหาค่า + +$ integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x. $ + +#answer[ + $ integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x + = frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(Gamma(alpha+1), + Gamma(frac(alpha+beta,2)+1) dot Gamma(frac(alpha-beta,2)+1)). $ +] + += สัญกรณ์และข้อตกลงเบื้องต้น + +#definition(title: "ฟังก์ชันแกมมา")[ + #emph[ฟังก์ชันแกมมา] $Gamma : CC without {0,-1,-2,dots.c} arrow CC$ นิยามสำหรับ + $op("Re")(z) > 0$ โดย + $ Gamma(z) = integral_0^oo t^(z-1) e^(-t) dif t $ + และขยายแบบ meromorphic ไปทั้ง $CC$ โดยมีขั้วอย่างง่ายที่จำนวนเต็มไม่เกิน $0$ สองสมบัติที่ใช้ตลอด: + - #cite([ความสัมพันธ์เวียนเกิด $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$], + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#Properties") + ซึ่งให้ $Gamma(n+1) = n!$ สำหรับ $n in NN_0 := {0, 1, 2, dots.c}$ + - ค่าพิเศษ: $Gamma(1) = 1$ และ $Gamma(1 slash 2) = sqrt(pi)$ +] + +เขียน $I(alpha, beta) := integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x$ และนิยามสูตรที่ต้องการพิสูจน์ +$ F(alpha, beta) := + frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(Gamma(alpha+1), + Gamma(frac(alpha+beta,2)+1) dot Gamma(frac(alpha-beta,2)+1)). $ +เป้าหมายคือแสดงว่า $I(alpha, beta) = F(alpha, beta)$ สำหรับทุก $beta > alpha > -1$ + +ฟังก์ชันถูกอินทิเกรตผสมระหว่างเส้นโค้ง $cos^alpha(x)$ ที่กดลงใกล้ $x = pi slash 2$ +กับการแกว่งความถี่สูง $cos(beta x)$ ซึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายและชดเชยพื้นที่บางส่วน + +#diagram(caption: [ + ฟังก์ชันถูกอินทิเกรต $cos(x) cos(2x)$ สำหรับ $alpha = 1$, $beta = 2$ บน $[0, pi slash 2]$ + เป็นบวกบน $(0, pi slash 4)$ (แรเงาสี accent) ตัดแกน $x$ ที่ $pi slash 4$ แล้วเป็นลบบน $(pi slash 4, pi slash 2)$ + (แรเงาเทา) แถบบวกกว้างกว่าส่วนลบ ทำให้พื้นที่สุทธิเท่ากับ $1 slash 3$ +])[ + #cetz.canvas(length: 1cm, { + import cetz.draw: * + let acc = default-theme.accent + let N = 40 + let xs = 4.5 / (calc.pi / 2) + let ys = 2.2 + for i in range(0, N) { + let xv = float(i) / float(N) * calc.pi / 4 + let yv = calc.cos(xv) * calc.cos(2.0 * xv) * ys + if yv > 0 { + line((xv * xs, 0.0), (xv * xs, yv), stroke: acc.lighten(70%) + 0.5pt) + } + } + for i in range(0, N) { + let xv = calc.pi / 4 + float(i) / float(N) * calc.pi / 4 + let yv = calc.cos(xv) * calc.cos(2.0 * xv) * ys + if yv < 0 { + line((xv * xs, 0.0), (xv * xs, yv), stroke: luma(185) + 0.5pt) + } + } + let pxd = 0.0 + let pyd = 1.0 * ys + for i in range(1, 2 * N + 1) { + let xv = float(i) / float(2 * N) * calc.pi / 2 + let yv = calc.cos(xv) * calc.cos(2.0 * xv) * ys + line((pxd, pyd), (xv * xs, yv), stroke: acc + 1pt) + pxd = xv * xs + pyd = yv + } + line((-0.3, 0), (5.1, 0), mark: (end: ">")) + line((0, -0.68), (0, 2.65), mark: (end: ">")) + content((5.06, -0.32), text(size: 8pt)[$x$]) + content((-0.28, 2.62), text(size: 8pt)[$y$]) + let p4x = calc.pi / 4 * xs + let p2x = calc.pi / 2 * xs + line((p4x, -0.1), (p4x, 0.1)) + line((p2x, -0.1), (p2x, 0.1)) + line((-0.1, ys), (0.1, ys)) + content((p4x, -0.4), text(size: 8pt)[$pi\/4$]) + content((p2x, -0.4), text(size: 8pt)[$pi\/2$]) + content((-0.32, ys), text(size: 8pt)[$1$]) + content((p4x * 0.46, 0.40 * ys), text(size: 8pt, fill: acc)[$+$]) + content((p4x + (p2x - p4x) * 0.52, -0.17 * ys), text(size: 8pt, fill: luma(90))[$-$]) + content((4.55, 1.82), text(size: 8pt, fill: acc)[$cos(x)cos(2x)$]) + circle((p4x, 0), radius: 0.07, fill: acc, stroke: none) + }) +] + += แนวคิด + +#insight[ + พิสูจน์โดย #emph[การอุปนัยเชิงแข็งแกร่งบน $n = alpha in NN_0$] เพื่อแสดงว่า + $I(n, beta) = F(n, beta)$ สำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ลบ $n$ จากนั้นใช้ #emph[การต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์] + ขยายผลไปยัง $alpha > -1$ ทั้งหมด + + - #strong[กรณีฐาน ($n = 0$).] ฟังก์ชันถูกอินทิเกรตกลายเป็น $cos(beta x)$ + ซึ่งหาปฏิยานุพันธ์ได้โดยตรง การจับคู่ผลลัพธ์กับ $F(0, beta)$ ต้องใช้ + #emph[สูตรสะท้อนออยเลอร์] $Gamma(z) Gamma(1-z) = pi slash sin(pi z)$ + เพื่อแปลงผลคูณ $Gamma(beta slash 2) Gamma(1-beta slash 2)$ ให้เป็นไซน์เดี่ยว + + - #strong[ขั้นอุปนัย ($n-1 arrow n$).] การอินทิเกรตทีละส่วนกับ $u = cos^n(x)$ + และ $dif v = cos(beta x) dif x$ ทำให้พจน์ขอบเขตหายไป (เพราะ $cos^n(pi slash 2) = 0$ + สำหรับ $n gt.eq 1$) และได้อินทิกรัลที่มี $sin(x) sin(beta x)$ + จากนั้น #emph[เอกลักษณ์ผลคูณ–ผลรวม] + $sin(x) sin(beta x) = frac(1,2)[cos((beta-1)x) - cos((beta+1)x)]$ + แยกออกเป็นสองอินทิกรัลที่กำลังลดลงหนึ่ง ได้ความสัมพันธ์เวียนเกิด + $ I(n, beta) = frac(n, 2 beta) lr([I(n-1, beta-1) - I(n-1, beta+1)]). $ + การตรวจสอบพีชคณิต (ขั้นที่ 3) ยืนยันว่า $F$ เป็นไปตามความสัมพันธ์เดียวกัน + + - #strong[ขยายไปยัง $alpha > -1$ ทั่วไป.] ทั้ง $I(alpha, beta)$ และ $F(alpha, beta)$ + วิเคราะห์ได้ในตัวแปร $alpha$ บน $op("Re")(alpha) > -1$ มีค่าจำกัดบน $op("Re")(alpha) gt.eq 0$ + และตรงกันบน $NN_0$ โดย #emph[ทฤษฎีบทคาร์ลสัน] ฟังก์ชันที่วิเคราะห์ได้และมีขอบเขต + บน $op("Re")(z) gt.eq 0$ ซึ่งเป็นศูนย์ทุกจุดบน $NN_0$ ต้องเป็นศูนย์ตลอด + ดังนั้น $I equiv F$ บน $op("Re")(alpha) > -1$ +] + +#diagram(caption: [ + โครงสร้างการอุปนัย: $I(n, beta)$ แยกเป็น $I(n-1, beta-1)$ (น้ำหนักบวก สี accent) + และ $I(n-1, beta+1)$ (น้ำหนักลบ สีเทา) หลัง $n$ รอบทุกสาขาลงถึงกรณีฐาน $I(0, gamma)$ +])[ + #cetz.canvas(length: 1cm, { + import cetz.draw: * + let acc = default-theme.accent + let bw = 1.55 + let bh = 0.42 + let draw-box(cx, cy, lbl, bg) = { + rect((cx - bw, cy - bh), (cx + bw, cy + bh), + fill: bg, stroke: acc + 0.65pt, radius: 0.1) + content((cx, cy), text(size: 7.5pt)[$#lbl$]) + } + draw-box(3.7, 4.0, [I(n, beta)], acc.lighten(78%)) + draw-box(1.3, 2.0, [I(n-1, beta-1)], acc.lighten(90%)) + draw-box(6.1, 2.0, [I(n-1, beta+1)], luma(232)) + line((3.7 - 0.4, 4.0 - bh), (1.3 + 0.55, 2.0 + bh), + mark: (end: ">"), stroke: acc + 0.8pt) + line((3.7 + 0.4, 4.0 - bh), (6.1 - 0.55, 2.0 + bh), + mark: (end: ">"), stroke: luma(110) + 0.8pt) + content((2.15, 3.2), text(size: 7pt, fill: acc)[$+frac(n,2beta)$]) + content((5.25, 3.2), text(size: 7pt, fill: luma(80))[$-frac(n,2beta)$]) + draw-box(0.1, 0.0, [I(0, beta-n)], acc.lighten(95%)) + draw-box(3.7, 0.0, [$dots.c$], acc.lighten(95%)) + draw-box(7.3, 0.0, [I(0, beta+n)], acc.lighten(95%)) + line((1.3 - 0.5, 2.0 - bh), (0.2, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + line((1.3 + 0.6, 2.0 - bh), (3.5, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + line((6.1 - 0.2, 2.0 - bh), (3.9, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + line((6.1 + 0.6, 2.0 - bh), (7.1, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + content((3.7, -0.82), + text(size: 7.5pt, fill: luma(100))[กรณีฐาน: $I(0,gamma) = sin(gamma pi slash 2) slash gamma$]) + }) +] + += วิธีพิสูจน์ + +== วิธีที่ 1: Induction + +#step(reason: [กรณีฐาน $n = 0$: ปฏิยานุพันธ์และ + #cite("สูตรสะท้อนออยเลอร์", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula")])[ + + #strong[กรณีย่อย $beta = 0$.] + $I(0,0) = integral_0^(pi slash 2) 1 dif x = pi slash 2$. + จากนิยาม $F$ เมื่อ $alpha = beta = 0$ และ $Gamma(1) = 1$: + $ F(0,0) = frac(pi, 2) dot frac(Gamma(1), Gamma(1) dot Gamma(1)) = frac(pi, 2) = I(0,0). $ + + #strong[กรณีย่อย $beta eq.not 0$.] + เนื่องจาก $cos^0(x) = 1$ ปฏิยานุพันธ์ของ $cos(beta x)$ คือ $sin(beta x) slash beta$: + $ + I(0, beta) + &= integral_0^(pi slash 2) cos(beta x) dif x + = lr([frac(sin(beta x), beta)])_0^(pi slash 2) \ + &= frac(sin(beta pi slash 2), beta) - frac(sin(0), beta) + = frac(sin(beta pi slash 2), beta). + $ + + เราจะแสดงว่า $F(0, beta)$ เท่ากับค่านี้ แทน $alpha = 0$ และ $Gamma(1) = 1$: + $ F(0, beta) = frac(pi, 2) dot frac(1, Gamma(frac(beta,2)+1) dot Gamma(1 - frac(beta,2))). $ + + ใช้#cite([ความสัมพันธ์เวียนเกิด $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$], + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#Properties") + กับ $z = beta slash 2$: + $ Gamma(frac(beta,2)+1) = frac(beta,2) dot Gamma(frac(beta,2)). $ + + แทนกลับเข้าใน $F(0, beta)$: + $ + F(0, beta) + &= frac(pi, 2) dot frac(1, frac(beta,2) dot Gamma(frac(beta,2)) dot Gamma(1 - frac(beta,2))) \ + &= frac(pi, beta dot Gamma(frac(beta,2)) dot Gamma(1 - frac(beta,2))). + $ + + จาก#cite("สูตรสะท้อนออยเลอร์", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula") + $Gamma(z) Gamma(1-z) = pi slash sin(pi z)$ เมื่อ $z in.not ZZ$ + แทน $z = beta slash 2$: + $ Gamma(frac(beta,2)) dot Gamma(1 - frac(beta,2)) = frac(pi, sin(pi beta slash 2)). $ + + ดังนั้น: + $ + F(0, beta) + &= frac(pi, beta) dot frac(sin(pi beta slash 2), pi) + = frac(sin(beta pi slash 2), beta) + = I(0, beta). quad checkmark + $ +] + +#step(reason: [การอินทิเกรตทีละส่วนและ + #cite("เอกลักษณ์ผลคูณ–ผลรวม", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities")])[ + + กำหนดจำนวนเต็ม $n gt.eq 1$ และสมมติว่า $I(n-1, gamma) = F(n-1, gamma)$ สำหรับทุก $gamma in RR$ + ตั้ง + $ u = cos^n(x), quad dif v = cos(beta x) dif x $ + ดังนั้น + $ dif u = -n cos^(n-1)(x) sin(x) dif x, quad v = frac(sin(beta x), beta). $ + + การอินทิเกรตทีละส่วนให้: + $ + I(n, beta) + = lr([frac(cos^n(x) sin(beta x), beta)])_0^(pi slash 2) + + frac(n, beta) integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) sin(x) sin(beta x) dif x. + $ + + #remark[ + พจน์ขอบเขตหายไปทั้งสองปลาย: ที่ $x = 0$ มี $sin(0) = 0$; ที่ $x = pi slash 2$ + มี $cos^n(pi slash 2) = 0$ (สำหรับ $n gt.eq 1$) นี่คือเหตุผลที่ต้องแยกกรณีฐาน $n = 0$ + ออกต่างหาก เพราะที่ $n = 0$ พจน์ขอบเขตไม่หายไปเองโดยอัตโนมัติ + ] + + เมื่อพจน์ขอบเขตหายไป: + $ I(n, beta) = frac(n, beta) integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) sin(x) sin(beta x) dif x. $ + + ใช้#cite("เอกลักษณ์ผลคูณ–ผลรวม", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities") + $ sin(x) sin(beta x) = frac(1,2) lr([cos((beta-1)x) - cos((beta+1)x)]) $ + กับฟังก์ชันถูกอินทิเกรต: + $ + I(n, beta) + &= frac(n, beta) dot frac(1,2) integral_0^(pi slash 2) + cos^(n-1)(x) lr([cos((beta-1)x) - cos((beta+1)x)]) dif x \ + &= frac(n, 2 beta) lr([integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) cos((beta-1)x) dif x + - integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) cos((beta+1)x) dif x]) \ + &= frac(n, 2 beta) lr([I(n-1, beta-1) - I(n-1, beta+1)]). + $ + + โดยสมมติฐานการอุปนัย $I(n-1, beta-1) = F(n-1, beta-1)$ และ $I(n-1, beta+1) = F(n-1, beta+1)$: + $ I(n, beta) = frac(n, 2 beta) lr([F(n-1, beta-1) - F(n-1, beta+1)]). $ +] + +#step(reason: [ตรวจสอบเชิงพีชคณิตว่า $F$ เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกัน])[ + + เราต้องแสดงว่า $frac(n, 2 beta) lr([F(n-1, beta-1) - F(n-1, beta+1)]) = F(n, beta)$ + + #strong[กระจาย $F(n-1, beta-1)$ และ $F(n-1, beta+1)$.] + แทน $(alpha, beta) = (n-1, beta-1)$ ในนิยามของ $F$: + $ + F(n-1, beta-1) + = frac(pi, 2^n) dot frac(Gamma(n), + Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2)+1)). + $ + + (อาร์กิวเมนต์แรกของ Gamma คือ $frac((n-1)+(beta-1),2)+1 = frac(n+beta,2)$ + และอาร์กิวเมนต์ที่สองคือ $frac((n-1)-(beta-1),2)+1 = frac(n-beta,2)+1$) + + ในทำนองเดียวกัน แทน $(alpha, beta) = (n-1, beta+1)$: + $ + F(n-1, beta+1) + = frac(pi, 2^n) dot frac(Gamma(n), + Gamma(frac(n+beta,2)+1) dot Gamma(frac(n-beta,2))). + $ + + #strong[แยกตัวส่วนโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด.] + ใช้ $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$: + $ + Gamma(frac(n-beta,2)+1) + = frac(n-beta,2) dot Gamma(frac(n-beta,2)), \ + Gamma(frac(n+beta,2)+1) + = frac(n+beta,2) dot Gamma(frac(n+beta,2)). + $ + + ทำให้ทั้งสองพจน์มีตัวส่วนร่วม $Gamma(frac(n+beta,2))$ และ $Gamma(frac(n-beta,2))$: + $ + F(n-1, beta-1) + &= frac(pi Gamma(n), 2^n) + dot frac(2, (n-beta) dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))), \ + F(n-1, beta+1) + &= frac(pi Gamma(n), 2^n) + dot frac(2, (n+beta) dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))). + $ + + #strong[หาผลต่าง.] + ดึงตัวประกอบร่วม $frac(2 pi Gamma(n), 2^n dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2)))$ ออก: + $ + F(n-1, beta-1) - F(n-1, beta+1) + &= frac(2 pi Gamma(n), 2^n dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))) + dot lr([frac(1, n-beta) - frac(1, n+beta)]) \ + &= frac(2 pi Gamma(n), 2^n dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))) + dot frac(2 beta, n^2-beta^2). + $ + + #strong[คูณด้วย $n slash (2 beta)$.] + $ + frac(n, 2 beta) lr([F(n-1,beta-1) - F(n-1,beta+1)]) + = frac(2 n pi Gamma(n), + 2^n (n^2-beta^2) Gamma(frac(n+beta,2)) Gamma(frac(n-beta,2))). + $ + + #strong[เขียนใหม่โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด.] + จาก $(n^2 - beta^2) = (n+beta)(n-beta)$ และ $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$: + $ + (n+beta) Gamma(frac(n+beta,2)) + &= 2 Gamma(frac(n+beta,2)+1), \ + (n-beta) Gamma(frac(n-beta,2)) + &= 2 Gamma(frac(n-beta,2)+1). + $ + + ดังนั้น $(n^2-beta^2) Gamma(frac(n+beta,2)) Gamma(frac(n-beta,2)) + = 4 Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)$ + + แทนกลับ: + $ + frac(n, 2 beta) lr([F(n-1,beta-1) - F(n-1,beta+1)]) + &= frac(2 n pi Gamma(n), 2^n dot 4 Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)) \ + &= frac(pi Gamma(n+1), 2^(n+1) Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)) \ + &= F(n, beta). quad checkmark + $ + + (ขั้นสุดท้ายใช้ $n Gamma(n) = Gamma(n+1)$) +] + +#step(reason: [สรุปการอุปนัยและ#cite("ทฤษฎีบทคาร์ลสัน", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem")])[ + + ขั้นที่ 1–3 พิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงแข็งแกร่งว่า $I(n, beta) = F(n, beta)$ + สำหรับทุก $n in NN_0$ และทุก $beta in RR$ + + สำหรับ $alpha > -1$ ทั่วไป สังเกตว่า: + - $I(alpha, beta)$ วิเคราะห์ได้ในตัวแปร $alpha$ บน $op("Re")(alpha) > -1$ + โดยทฤษฎีการลู่เข้าแบบครอบงำ (เพราะ $abs(cos^alpha(x) cos(beta x)) lt.eq cos^(op("Re")(alpha))(x)$ + อินทิเกรตได้บนช่วงนั้น) + - $F(alpha, beta)$ วิเคราะห์ได้บนครึ่งระนาบเดียวกัน เพราะ#cite("ฟังก์ชันแกมมา", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function") + วิเคราะห์ได้นอกขั้วของมัน ซึ่งอยู่ที่จำนวนเต็มไม่เกิน $0$ นอกครึ่งระนาบนี้ + - ทั้งสองมีค่าจำกัดบน $op("Re")(alpha) gt.eq 0$ และตรงกันบน $NN_0$ + + โดย#cite("ทฤษฎีบทคาร์ลสัน", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem") + ฟังก์ชันที่วิเคราะห์ได้และมีขอบเขตบน $op("Re")(z) gt.eq 0$ ซึ่งเป็นศูนย์ทุกจุดบน $NN_0$ + ต้องเป็นศูนย์ตลอด ผลต่าง $I(alpha, beta) - F(alpha, beta)$ เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมด + และเป็นศูนย์บน $NN_0$ ดังนั้นมันเป็นศูนย์ตลอด $op("Re")(alpha) > -1$ +] + +#theorem[ + สำหรับ $beta > alpha > -1$ + $ integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x + = frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(Gamma(alpha+1), + Gamma(frac(alpha+beta,2)+1) dot Gamma(frac(alpha-beta,2)+1)). $ +] + +== วิธีที่ 2: เอกซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อน + +#insight[ + แทนที่จะสร้างสูตรด้วย induction เราจะ #emph[แตก $cos^n(x)$ เป็นเอกซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อน] + ผ่านทฤษฎีบททวินาม แล้วอินทิเกรตแต่ละพจน์ความถี่เดี่ยวในรูปปิด จากนั้นยุบผลรวมทวินามสลับเครื่องหมาย + ด้วย #emph[เอกลักษณ์ Vandermonde–Chu] สุดท้ายสูตรสะท้อน Euler ตัด $Gamma(frac(beta-n,2))$ + กับตัวประกอบไซน์ ได้ $F(n,beta)$ โดยตรง วิธีนี้ใช้ได้แน่ชัดสำหรับ $n$ จำนวนเต็ม + และขยายสู่ $alpha > -1$ จริงด้วยทฤษฎีบท Carlson เช่นเดิม +] + +#diagram(caption: [ + การแทน $w = e^(-2i x)$ ส่ง $x in (0, pi slash 2)$ ไปยังส่วนโค้งล่างบนวงกลมหนึ่งหน่วย (เส้นสี) + จาก $w=1$ ที่ $x=0$ ผ่าน $w=-i$ ที่ $x=pi slash 4$ ถึง $w=-1$ ที่ $x=pi slash 2$ + ดิสก์เปิด $|w|<1$ (แรเงา) คือบริเวณลู่เข้าของอนุกรมทวินาม $(1+w)^n = sum_k binom(n,k)w^k$ + เส้นทางอยู่บนขอบ จุด $w=-1$ เป็นจุดเดียวที่น่าเป็นห่วง แต่ $(1+w)^n=0$ ที่นั่น + จึงสลับลำดับผลรวมกับอินทิกรัลได้ +])[ + #cetz.canvas(length: 1cm, { + import cetz.draw: * + let acc = default-theme.accent + let r = 2.0 + let N = 60 + circle((0, 0), radius: r, fill: acc.lighten(88%), stroke: luma(185) + 0.7pt) + for i in range(0, N) { + let th1 = -float(i) / float(N) * calc.pi + let th2 = -float(i + 1) / float(N) * calc.pi + line( + (r * calc.cos(th1), r * calc.sin(th1)), + (r * calc.cos(th2), r * calc.sin(th2)), + stroke: acc + 1.8pt, + ) + } + line((0.22, -r + 0.06), (-0.18, -r - 0.06), mark: (end: ">"), stroke: acc + 1.3pt) + line((-r - 0.5, 0), (r + 0.5, 0), mark: (end: ">"), stroke: luma(60) + 0.6pt) + line((0, -r - 0.55), (0, r + 0.55), mark: (end: ">"), stroke: luma(60) + 0.6pt) + content((r + 0.68, -0.28), text(size: 7.5pt)[$op("Re")(w)$]) + content((-0.52, r + 0.58), text(size: 7.5pt)[$op("Im")(w)$]) + circle((r, 0), radius: 0.09, fill: acc, stroke: none) + content((r + 0.18, 0.38), text(size: 7.5pt, fill: acc)[$w=1$]) + content((r + 0.18, 0.12), text(size: 6.5pt, fill: luma(120))[$x=0$]) + circle((0, -r), radius: 0.07, fill: acc.lighten(15%), stroke: none) + content((0.38, -r - 0.25), text(size: 7.5pt)[$w=-i$]) + content((0.38, -r - 0.5), text(size: 6.5pt, fill: luma(120))[$x=pi slash 4$]) + circle((-r, 0), radius: 0.09, fill: white, stroke: rgb("#c0392b") + 1.2pt) + line((-r - 0.1, -0.1), (-r + 0.1, 0.1), stroke: rgb("#c0392b") + 1.2pt) + line((-r - 0.1, 0.1), (-r + 0.1, -0.1), stroke: rgb("#c0392b") + 1.2pt) + content((-r - 0.15, 0.44), text(size: 7.5pt, fill: rgb("#c0392b"))[$w=-1$]) + content((-r - 0.15, 0.18), text(size: 6.5pt, fill: luma(120))[$x=pi slash 2$]) + content((-0.1, 0.80), text(size: 7.5pt, fill: acc.darken(15%))[$|w|<1$]) + content((-0.1, 0.50), text(size: 6.5pt, fill: acc.darken(15%))[อนุกรมลู่เข้า]) + content((1.5, -1.7), text(size: 7.5pt, fill: acc)[$w = e^(-2i x)$]) + }) +] + +#step(reason: [เขียนเป็นส่วนจริงของอินทิกรัลเชิงซ้อน])[ + เขียน $cos(beta x) = op("Re")(e^(i beta x))$ และนิยาม + $ J := integral_0^(pi slash 2) cos^n(x) e^(i beta x) dif x, $ + จะได้ $I(n, beta) = op("Re")(J)$ ข้อดีคือ $e^(i beta x)$ รวม $cos(beta x)$ และ $sin(beta x)$ + ไว้ในนิพจน์เดียว เราจึงแบกอินทิกรันด์เชิงซ้อนตัวเดียวและฉายลงแกนจริงตอนท้ายเท่านั้น +] + +#step(reason: [ + กระจาย $cos^n(x)$ ด้วย + #cite([ทฤษฎีบททวินาม], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem")])[ + + เขียน $2cos(x) = e^(i x) + e^(-i x)$ และแยกตัวประกอบ $e^(i n x)$: + $ + cos^n(x) = frac((e^(i x) + e^(-i x))^n, 2^n) + = frac(e^(i n x), 2^n) (1 + e^(-2i x))^n. + $ + + แทน $(1 + w)^n = sum_(k=0)^n binom(n,k) w^k$ โดย $w = e^(-2i x)$: + $ + cos^n(x) = frac(1, 2^n) sum_(k=0)^n binom(n,k) e^(i(n - 2k)x). + $ + + #remark[ + ผลรวมจบที่ $k = n$ เพราะ $binom(n,k) = 0$ สำหรับ $k > n$ จำนวนเต็ม + ความถี่ $n - 2k$ สำหรับ $k = 0, 1, dots.c, n$ เป็นอนุกรมเลขคณิต $n, n-2, dots.c, -n$ + ซึ่งต่างกันทุกพจน์ การแตกจึงเป็นเอกลักษณ์ + ] + + แทนใน $J$ และสลับผลรวม (จำกัด) กับอินทิกรัล: + $ + J = frac(1, 2^n) sum_(k=0)^n binom(n,k) integral_0^(pi slash 2) e^(i(n+beta-2k)x) dif x. + $ +] + +#step(reason: [คำนวณแต่ละอินทิกรัลเอกซ์โพเนนเชียล แล้วดึงส่วนจริง])[ + กำหนด $gamma_k := n + beta - 2k$ สำหรับ $gamma_k eq.not 0$ ปฏิยานุพันธ์โดยตรงให้: + $ + integral_0^(pi slash 2) e^(i gamma_k x) dif x + = lr([frac(e^(i gamma_k x), i gamma_k)])_0^(pi slash 2) + = frac(e^(i gamma_k pi slash 2) - 1, i gamma_k). + $ + + แยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพโดยเขียน + $e^(i gamma_k pi slash 2) - 1 = (cos(gamma_k pi slash 2) - 1) + i sin(gamma_k pi slash 2)$: + $ + frac(e^(i gamma_k pi slash 2) - 1, i gamma_k) + = frac(sin(gamma_k pi slash 2), gamma_k) + + frac(cos(gamma_k pi slash 2) - 1, i gamma_k). + $ + + เศษส่วนที่สอง: คูณเศษและส่วนด้วย $-i$ ได้ $frac(-i(cos(gamma_k pi slash 2) - 1), gamma_k)$ + ซึ่งเป็นจินตภาพล้วน ดังนั้น + $ + op("Re") integral_0^(pi slash 2) e^(i gamma_k x) dif x + = frac(sin(gamma_k pi slash 2), gamma_k) + = frac(sin(frac((n+beta-2k)pi, 2)), n+beta-2k). + $ + + รวมทุก $k$: + $ + I(n, beta) = frac(1, 2^n) sum_(k=0)^n binom(n,k) + frac(sin(frac((n+beta-2k)pi, 2)), n+beta-2k). + $ +] + +#step(reason: [ + แยกตัวประกอบด้วยสูตรมุมลบ และประเมินผลรวมด้วย + #cite([เอกลักษณ์ Vandermonde–Chu], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity")])[ + + #strong[แยกตัวประกอบ $sin$ ออกจากผลรวม.] + สำหรับ $k$ จำนวนเต็มใดก็ตาม ใช้ $sin(theta - k pi) = (-1)^k sin(theta)$ + โดย $theta = frac((n+beta)pi, 2)$: + $ + sin frac((n+beta-2k)pi, 2) + = sin(frac((n+beta)pi, 2) - k pi) + = (-1)^k sin frac((n+beta)pi, 2). + $ + ตัวประกอบ $sin frac((n+beta)pi, 2)$ ไม่ขึ้นกับ $k$ จึงดึงออกได้: + $ I(n,beta) = frac(sin(frac((n+beta)pi, 2)), 2^n) dot S_n $ + เมื่อ $S_n := sum_(k=0)^n frac((-1)^k binom(n,k), n+beta-2k)$. + + #strong[ประเมิน $S_n$ โดยแทน $j = n - k$.] + ตั้ง $j = n - k$ (ดังนั้น $k = n - j$, $(-1)^k = (-1)^n (-1)^j$, $binom(n,n-j) = binom(n,j)$ + และ $n+beta-2(n-j) = beta-n+2j$): + $ + S_n + = sum_(j=0)^n frac((-1)^n (-1)^j binom(n,j), beta-n+2j) + = frac((-1)^n, 2) sum_(j=0)^n frac((-1)^j binom(n,j), frac(beta-n,2)+j). + $ + + ผลรวมภายในตรงกับ + #cite([เอกลักษณ์ Vandermonde–Chu], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity"): + สำหรับ $s > 0$ และ $n gt.eq 0$ จำนวนเต็ม, + $ + sum_(j=0)^n frac((-1)^j binom(n,j), s+j) + = B(s, n+1) + = frac(Gamma(s) Gamma(n+1), Gamma(s+n+1)). + $ + + ตั้ง $s = (beta-n) slash 2$ จะได้ $s + n + 1 = (n+beta) slash 2 + 1$: + $ + sum_(j=0)^n frac((-1)^j binom(n,j), frac(beta-n,2)+j) + = frac(Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(n+1), Gamma(frac(n+beta,2)+1)). + $ + + ดังนั้น: + $ + S_n = frac((-1)^n, 2) dot frac(Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(n+1), Gamma(frac(n+beta,2)+1)). + $ + + แทนกลับในสมการของ $I(n,beta)$: + $ + I(n, beta) + = frac((-1)^n sin(frac((n+beta)pi, 2)), 2^(n+1)) + dot frac(Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(n+1), Gamma(frac(n+beta,2)+1)). + $ +] + +#step(reason: [ + ตัด $Gamma(frac(beta-n,2))$ กับไซน์ผ่าน + #cite([สูตรสะท้อน Euler], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula")])[ + + ใช้ $Gamma(z)Gamma(1-z) = pi slash sin(pi z)$ โดย $z = (beta-n) slash 2$ + และ $1 - z = (n-beta) slash 2 + 1$: + $ Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(frac(n-beta,2)+1) = frac(pi, sin(frac((beta-n)pi, 2))). $ + + เนื่องจาก $sin(frac((beta-n)pi,2)) = -sin(frac((n-beta)pi,2))$ แยก $Gamma(frac(beta-n,2))$: + $ Gamma(frac(beta-n,2)) = frac(-pi, Gamma(frac(n-beta,2)+1) sin(frac((n-beta)pi,2))). $ + + #strong[เอกลักษณ์ไซน์สำหรับ $n$ จำนวนเต็ม.] + ใช้ $sin(A + n pi) = (-1)^n sin(A)$ โดย $A = (beta-n)pi slash 2$: + $ + sin frac((n+beta)pi, 2) + = (-1)^n sin frac((beta-n)pi, 2) + = (-1)^(n+1) sin frac((n-beta)pi, 2). + $ + + #strong[รวบทุกตัวประกอบ.] + แทนค่า $Gamma(frac(beta-n,2))$ และเอกลักษณ์ไซน์ โดยเขียน $G_+ = Gamma(frac(n+beta,2)+1)$ + และ $G_- = Gamma(frac(n-beta,2)+1)$: + $ + I(n, beta) + = frac((-1)^n sin(frac((n+beta)pi,2)), 2^(n+1)) + dot frac(Gamma(n+1), G_+) + dot frac(-pi, G_- sin(frac((n-beta)pi,2))). + $ + + แทน $(-1)^n sin(frac((n+beta)pi,2)) = (-1)^(n+1) sin(frac((n-beta)pi,2))$ + แล้ว $sin(frac((n-beta)pi,2))$ ตัดกัน: + $ + I(n, beta) + = frac((-1)^(n+1) dot (-pi) dot (-1)^(n+1) dot Gamma(n+1), 2^(n+1) G_+ G_-) + = frac((-1)^(2n+2) pi Gamma(n+1), 2^(n+1) G_+ G_-) + = frac(pi Gamma(n+1), 2^(n+1) Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)). + $ + + นี่คือ $F(n, beta)$ พอดี การขยายสู่ $alpha > -1$ จริงดำเนินเหมือนวิธีที่ 1: + ทั้ง $I(alpha,beta)$ และ $F(alpha,beta)$ เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์และมีขอบเขตบน $op("Re")(alpha) gt.eq 0$ + และตรงกันบน $NN_0$ ดังนั้นโดย#cite([ทฤษฎีบท Carlson], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem") + จะได้ $I(alpha,beta) = F(alpha,beta)$ สำหรับ $alpha > -1$ ทั้งหมด #sym.checkmark +] + + += การตรวจสอบ + +#strong[วิธีตรงสำหรับ ($alpha = 1$, $beta = 2$).] +ใช้สูตรมุมคู่ $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$ กระจายฟังก์ชันถูกอินทิเกรต: +$ + I(1,2) + &= integral_0^(pi slash 2) cos(x)(2cos^2(x) - 1) dif x \ + &= 2 integral_0^(pi slash 2) cos^3(x) dif x - integral_0^(pi slash 2) cos(x) dif x. +$ +ผลมาตรฐาน $integral_0^(pi slash 2) cos^3(x) dif x = 2 slash 3$ และ +$integral_0^(pi slash 2) cos(x) dif x = 1$ ให้: +$ I(1,2) = 2 dot frac(2,3) - 1 = frac(1,3). $ + +สูตรให้ $F(1,2) = frac(pi,4) dot frac(Gamma(2), Gamma(5 slash 2) dot Gamma(1 slash 2))$ +โดย $Gamma(2) = 1$, $Gamma(5 slash 2) = frac(3 sqrt(pi), 4)$, $Gamma(1 slash 2) = sqrt(pi)$: +$F(1,2) = frac(pi,4) dot frac(4, 3 pi) = frac(1,3).$ #sym.checkmark + +#strong[ตรวจสอบกำลังสูง ($alpha = 2$, $beta = 3$).] +ใช้สูตรมุมสาม $cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)$: +$ + I(2,3) + &= 4 integral_0^(pi slash 2) cos^5(x) dif x - 3 integral_0^(pi slash 2) cos^3(x) dif x \ + &= 4 dot frac(8,15) - 3 dot frac(2,3) + = frac(2,15). +$ +สูตรให้ $F(2,3) = frac(pi,8) dot frac(Gamma(3), Gamma(7 slash 2) dot Gamma(1 slash 2))$ +โดย $Gamma(3) = 2$, $Gamma(7 slash 2) = frac(15 sqrt(pi), 8)$: +$F(2,3) = frac(pi,8) dot frac(16, 15 pi) = frac(2,15).$ #sym.checkmark + +#strong[อินทิกรัลวอลลิส ($beta = 0$ ทุก $alpha$).] +เมื่อ $beta = 0$ สูตรทำนาย +$ F(alpha, 0) = frac(pi, 2^(alpha+1)) dot frac(Gamma(alpha+1), lr([Gamma(frac(alpha,2)+1)])^2). $ +จาก#cite("สูตรทวีกำลังเลอฌ็องดร์", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem#Legendre_duplication_formula") +$Gamma(alpha+1) = frac(2^alpha, sqrt(pi)) Gamma(frac(alpha+1,2)) Gamma(frac(alpha,2)+1)$ +แทนกลับได้: +$ + F(alpha, 0) + = frac(sqrt(pi), 2) dot frac(Gamma(frac(alpha+1,2)), Gamma(frac(alpha,2)+1)), +$ +ซึ่งตรงกับ#cite("อินทิกรัลวอลลิส", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals") +$integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) dif x = frac(sqrt(pi), 2) dot frac(Gamma(frac(alpha+1,2)), Gamma(frac(alpha,2)+1))$. +#sym.checkmark + += ข้อสังเกตเพิ่มเติม + +#strong[กรณีพิเศษจำนวนเต็ม.] +เมื่อ $n, m in NN_0$ และ $n + m$ เป็นจำนวนคู่ อัตราส่วนแกมมาใน $F(n, m)$ +ลดเหลือสัมประสิทธิ์ทวินาม: +$ F(n, m) = frac(pi, 2^(n+1)) binom(n, frac(n+m,2)), $ +ซึ่งเป็นสูตรคลาสสิกสำหรับ $integral_0^(pi slash 2) cos^n(x) cos(m x) dif x$ +สูตรทั่วไปคือการขยายของเอกลักษณ์แบบไม่ต่อเนื่องนี้ไปยัง $beta > alpha > -1$ + +#strong[เงื่อนไขการลู่เข้า.] +เงื่อนไข $alpha > -1$ รับประกันว่า $cos^alpha(x)$ อินทิเกรตได้ใกล้ $x = pi slash 2$ +ที่ซึ่ง $cos(x) -> 0$ ตัวส่วนในสูตรไม่เป็นศูนย์เพราะขั้วของ $Gamma$ อยู่ที่ +$0, -1, -2, dots.c$ ซึ่งอยู่นอกช่วงพารามิเตอร์ที่ระบุ + +#strong[รูปแบบฟังก์ชันเบตา.] +เขียน $B(a,b) = Gamma(a) Gamma(b) slash Gamma(a+b)$ ได้ว่า +$ F(alpha, beta) = frac(pi, 2^(alpha+1) (alpha+1) dot B(frac(alpha+beta,2)+1, frac(alpha-beta,2)+1)), $ +ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลนี้เป็นส่วนกลับของค่า Beta function คูณด้วย $pi slash (alpha+1)$ diff --git a/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ new file mode 100644 index 0000000..3c6aeef --- /dev/null +++ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ @@ -0,0 +1,741 @@ +#import "../src/template.typ": * +#import "../src/theorems.typ": theorem, lemma, corollary, proposition, definition, proof, insight, step, remark, example +#import "../src/components.typ": comparison, figure-image, cite, numbered, answer, diagram +#import "../src/style.typ": default-theme +#import "@preview/cetz:0.3.4" + +#show: doc.with( + title: "Cosine Power–Cosine Fourier Integral", + source: "Romanian Mathematical Magazine, proposed by K. Srinivasa Raghava", + source_url: none, + source_license: "All rights reserved", + date: "2026-06-21", + tags: ("calculus", "definite-integral", "special-functions", "gamma-function", "beta-function", "complex-analysis", "fourier-analysis", "trigonometry", "induction", "analytic-continuation", "combinatorics"), + prerequisites: ( + (name: "Mathematical induction", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction"), + (name: "Integration by parts", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts"), + (name: "Product-to-sum identities", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities"), + (name: "Euler's formula", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula"), + (name: "Binomial theorem", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem"), + (name: "Gamma function", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function"), + (name: "Beta function", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function"), + (name: "Euler reflection formula", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula"), + (name: "Analytic continuation", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_continuation"), + (name: "Carlson's theorem", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem"), + ), + resources: ( + (title: "Wallis integrals (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals"), + (title: "Binomial theorem (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem"), + (title: "Vandermonde–Chu identity / Beta function sum (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity"), + (title: "Euler's formula (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula"), + (title: "Euler reflection formula (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula"), + (title: "Legendre duplication formula (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem#Legendre_duplication_formula"), + (title: "Carlson's theorem (Wikipedia)", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem"), + (title: "Related discussion (Math StackExchange, CC BY-SA 4.0)", url: "https://math.stackexchange.com/questions/456899"), + ), +) + += Problem Statement + +For real parameters satisfying $beta > alpha > -1$, evaluate + +$ integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x. $ + +#answer[ + $ integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x + = frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(Gamma(alpha+1), + Gamma(frac(alpha+beta,2)+1) dot Gamma(frac(alpha-beta,2)+1)). $ +] + += Setup and Notation + +#definition(title: "Gamma function")[ + The #emph[Gamma function] $Gamma : CC without {0,-1,-2,dots.c} arrow CC$ is defined for + $op("Re")(z) > 0$ by + $ Gamma(z) = integral_0^oo t^(z-1) e^(-t) dif t $ + and extended meromorphically to all of $CC$, with simple poles at the non-positive + integers. Two properties are used throughout: + - #cite([Recurrence: $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$], + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#Properties"), + which gives $Gamma(n+1) = n!$ for $n in NN_0 := {0, 1, 2, dots.c}$; and + - Special values: $Gamma(1) = 1$ and $Gamma(1 slash 2) = sqrt(pi)$. +] + +Write $I(alpha, beta) := integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x$ and define the +candidate closed form +$ F(alpha, beta) := + frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(Gamma(alpha+1), + Gamma(frac(alpha+beta,2)+1) dot Gamma(frac(alpha-beta,2)+1)). $ +The goal is to establish $I(alpha, beta) = F(alpha, beta)$ for all $beta > alpha > -1$. + +The integrand blends a decaying envelope $cos^alpha(x)$ — which concentrates near $x = 0$ +and vanishes at $x = pi slash 2$ for $alpha > 0$ — with the higher-frequency oscillation +$cos(beta x)$, whose sign changes partially cancel the accumulated area. + +#diagram(caption: [ + The integrand $cos(x) cos(2x)$ for $alpha = 1$, $beta = 2$ on $[0, pi slash 2]$. It is + positive on $(0, pi slash 4)$ where $cos(2x) > 0$ (accent shading), crosses zero at + $x = pi slash 4$, then dips negative on $(pi slash 4, pi slash 2)$ (gray shading). The + positive strip is wider than the dip, giving a net signed area of $1 slash 3$ — verified + numerically in the Verification section. +])[ + #cetz.canvas(length: 1cm, { + import cetz.draw: * + let acc = default-theme.accent + let N = 40 + let xs = 4.5 / (calc.pi / 2) + let ys = 2.2 + for i in range(0, N) { + let xv = float(i) / float(N) * calc.pi / 4 + let yv = calc.cos(xv) * calc.cos(2.0 * xv) * ys + if yv > 0 { + line((xv * xs, 0.0), (xv * xs, yv), stroke: acc.lighten(70%) + 0.5pt) + } + } + for i in range(0, N) { + let xv = calc.pi / 4 + float(i) / float(N) * calc.pi / 4 + let yv = calc.cos(xv) * calc.cos(2.0 * xv) * ys + if yv < 0 { + line((xv * xs, 0.0), (xv * xs, yv), stroke: luma(185) + 0.5pt) + } + } + let pxd = 0.0 + let pyd = 1.0 * ys + for i in range(1, 2 * N + 1) { + let xv = float(i) / float(2 * N) * calc.pi / 2 + let yv = calc.cos(xv) * calc.cos(2.0 * xv) * ys + line((pxd, pyd), (xv * xs, yv), stroke: acc + 1pt) + pxd = xv * xs + pyd = yv + } + line((-0.3, 0), (5.1, 0), mark: (end: ">")) + line((0, -0.68), (0, 2.65), mark: (end: ">")) + content((5.06, -0.32), text(size: 8pt)[$x$]) + content((-0.28, 2.62), text(size: 8pt)[$y$]) + let p4x = calc.pi / 4 * xs + let p2x = calc.pi / 2 * xs + line((p4x, -0.1), (p4x, 0.1)) + line((p2x, -0.1), (p2x, 0.1)) + line((-0.1, ys), (0.1, ys)) + content((p4x, -0.4), text(size: 8pt)[$pi\/4$]) + content((p2x, -0.4), text(size: 8pt)[$pi\/2$]) + content((-0.32, ys), text(size: 8pt)[$1$]) + content((p4x * 0.46, 0.40 * ys), text(size: 8pt, fill: acc)[$+$]) + content((p4x + (p2x - p4x) * 0.52, -0.17 * ys), text(size: 8pt, fill: luma(90))[$-$]) + content((4.55, 1.82), text(size: 8pt, fill: acc)[$cos(x)cos(2x)$]) + circle((p4x, 0), radius: 0.07, fill: acc, stroke: none) + }) +] + += Idea + +#insight[ + The proof proceeds by #emph[strong induction on $n = alpha in NN_0$] to + establish $I(n, beta) = F(n, beta)$ for every non-negative integer $n$, then invokes + #emph[analytic continuation] to extend the result to all real $alpha > -1$. + + - #strong[Base case ($n = 0$).] The integrand collapses to $cos(beta x)$, whose + antiderivative is elementary. Matching the result against $F(0, beta)$ requires + the #emph[Euler reflection formula] $Gamma(z) Gamma(1 - z) = pi slash sin(pi z)$, + which converts the product $Gamma(beta slash 2) Gamma(1 - beta slash 2)$ into a + single sine — exactly cancelling $pi slash beta$ to leave $sin(beta pi slash 2) slash beta$. + + - #strong[Inductive step ($n-1 arrow n$).] Integration by parts with + $u = cos^n(x)$ and $dif v = cos(beta x) dif x$ eliminates the boundary terms + (because $cos^n(pi slash 2) = 0$ for $n gt.eq 1$) and produces an integrand + containing $sin(x) sin(beta x)$. The #emph[product-to-sum identity] + $sin(x) sin(beta x) = frac(1,2)[cos((beta-1)x) - cos((beta+1)x)]$ + then splits this into two integrals of the same type at one lower power, + giving the recursion + $ I(n, beta) = frac(n, 2 beta) lr([I(n-1, beta-1) - I(n-1, beta+1)]). $ + A direct algebraic check (Step 3) shows $F$ satisfies the #emph[identical] + recursion, so the inductive hypothesis closes the step cleanly. + + - #strong[Extension to real $alpha > -1$.] Both $I(alpha, beta)$ and + $F(alpha, beta)$ are analytic in $alpha$ on $op("Re")(alpha) > -1$, bounded on + $op("Re")(alpha) gt.eq 0$, and coincide on $NN_0$. By #emph[Carlson's theorem], + such a function vanishing on $NN_0$ must be identically zero, so + $I(alpha, beta) - F(alpha, beta) equiv 0$ throughout $op("Re")(alpha) > -1$. +] + +#diagram(caption: [ + The inductive decomposition: $I(n, beta)$ branches into $I(n-1, beta-1)$ (positive + weight, accent) and $I(n-1, beta+1)$ (negative weight, gray). After $n$ rounds + every branch terminates at a base case $I(0, gamma) = sin(gamma pi slash 2) slash gamma$. +])[ + #cetz.canvas(length: 1cm, { + import cetz.draw: * + let acc = default-theme.accent + let bw = 1.55 + let bh = 0.42 + let draw-box(cx, cy, lbl, bg) = { + rect((cx - bw, cy - bh), (cx + bw, cy + bh), + fill: bg, stroke: acc + 0.65pt, radius: 0.1) + content((cx, cy), text(size: 7.5pt)[$#lbl$]) + } + draw-box(3.7, 4.0, [I(n, beta)], acc.lighten(78%)) + draw-box(1.3, 2.0, [I(n-1, beta-1)], acc.lighten(90%)) + draw-box(6.1, 2.0, [I(n-1, beta+1)], luma(232)) + line((3.7 - 0.4, 4.0 - bh), (1.3 + 0.55, 2.0 + bh), + mark: (end: ">"), stroke: acc + 0.8pt) + line((3.7 + 0.4, 4.0 - bh), (6.1 - 0.55, 2.0 + bh), + mark: (end: ">"), stroke: luma(110) + 0.8pt) + content((2.15, 3.2), text(size: 7pt, fill: acc)[$+frac(n,2beta)$]) + content((5.25, 3.2), text(size: 7pt, fill: luma(80))[$-frac(n,2beta)$]) + draw-box(0.1, 0.0, [I(0, beta-n)], acc.lighten(95%)) + draw-box(3.7, 0.0, [$dots.c$], acc.lighten(95%)) + draw-box(7.3, 0.0, [I(0, beta+n)], acc.lighten(95%)) + line((1.3 - 0.5, 2.0 - bh), (0.2, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + line((1.3 + 0.6, 2.0 - bh), (3.5, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + line((6.1 - 0.2, 2.0 - bh), (3.9, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + line((6.1 + 0.6, 2.0 - bh), (7.1, 0.0 + bh), mark: (end: ">"), stroke: luma(155) + 0.6pt) + content((3.7, -0.82), + text(size: 7.5pt, fill: luma(100))[base: $I(0,gamma) = sin(gamma pi slash 2) slash gamma$]) + }) +] + += Proofs + +== Proof I: Induction on $n$ + +#step(reason: [Base case $n = 0$: antiderivative and + #cite("Euler reflection formula", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula")])[ + + #strong[Subcase $beta = 0$.] + $I(0,0) = integral_0^(pi slash 2) 1 dif x = pi slash 2$. + From the definition of $F$ with $alpha = beta = 0$ and $Gamma(1) = 1$: + $ F(0,0) = frac(pi, 2) dot frac(Gamma(1), Gamma(1) dot Gamma(1)) = frac(pi, 2) = I(0,0). $ + + #strong[Subcase $beta eq.not 0$.] + Since $cos^0(x) = 1$, the antiderivative of $cos(beta x)$ is $sin(beta x) slash beta$: + $ + I(0, beta) + &= integral_0^(pi slash 2) cos(beta x) dif x + = lr([frac(sin(beta x), beta)])_0^(pi slash 2) \ + &= frac(sin(beta pi slash 2), beta) - frac(sin(0), beta) + = frac(sin(beta pi slash 2), beta). + $ + + We now show $F(0, beta)$ equals the same value. Substituting $alpha = 0$ and $Gamma(1) = 1$: + $ F(0, beta) = frac(pi, 2) dot frac(1, Gamma(frac(beta,2)+1) dot Gamma(1 - frac(beta,2))). $ + + Apply the + #cite([recurrence $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$], + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#Properties") + with $z = beta slash 2$ to the first Gamma in the denominator: + $ Gamma(frac(beta,2)+1) = frac(beta,2) dot Gamma(frac(beta,2)). $ + + Substituting this into $F(0, beta)$: + $ + F(0, beta) + &= frac(pi, 2) dot frac(1, frac(beta,2) dot Gamma(frac(beta,2)) dot Gamma(1 - frac(beta,2))) \ + &= frac(pi, beta dot Gamma(frac(beta,2)) dot Gamma(1 - frac(beta,2))). + $ + + The #cite("Euler reflection formula", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula") + states $Gamma(z) Gamma(1-z) = pi slash sin(pi z)$ for all $z in.not ZZ$. + Setting $z = beta slash 2$ gives + $ Gamma(frac(beta,2)) dot Gamma(1 - frac(beta,2)) = frac(pi, sin(pi beta slash 2)). $ + + Substituting: + $ + F(0, beta) + &= frac(pi, beta) dot frac(sin(pi beta slash 2), pi) + = frac(sin(beta pi slash 2), beta) + = I(0, beta). quad checkmark + $ +] + +#step(reason: [Integration by parts and + #cite("product-to-sum identity", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities")])[ + + Fix an integer $n gt.eq 1$ and assume $I(n-1, gamma) = F(n-1, gamma)$ for all + $gamma in RR$ (the inductive hypothesis). We set + $ u = cos^n(x), quad dif v = cos(beta x) dif x, $ + so that + $ dif u = -n cos^(n-1)(x) sin(x) dif x, quad v = frac(sin(beta x), beta). $ + + Integration by parts gives + $ + I(n, beta) + = lr([frac(cos^n(x) sin(beta x), beta)])_0^(pi slash 2) + + frac(n, beta) integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) sin(x) sin(beta x) dif x. + $ + + #remark[ + The boundary term vanishes at both endpoints: at $x = 0$, $sin(0) = 0$; at + $x = pi slash 2$, $cos^n(pi slash 2) = 0^n = 0$ (for $n gt.eq 1$). Both factors + in the product $cos^n(x) sin(beta x)$ vanish at separate endpoints — a key + consequence of $n gt.eq 1$ that fails at $n = 0$, which is why the base case + was handled separately. + ] + + With the boundary term gone: + $ I(n, beta) = frac(n, beta) integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) sin(x) sin(beta x) dif x. $ + + Apply the #cite("product-to-sum identity", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities") + $ sin(x) sin(beta x) = frac(1,2) lr([cos((beta-1)x) - cos((beta+1)x)]) $ + to the integrand: + $ + I(n, beta) + &= frac(n, beta) dot frac(1,2) integral_0^(pi slash 2) + cos^(n-1)(x) lr([cos((beta-1)x) - cos((beta+1)x)]) dif x \ + &= frac(n, 2 beta) lr([integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) cos((beta-1)x) dif x + - integral_0^(pi slash 2) cos^(n-1)(x) cos((beta+1)x) dif x]) \ + &= frac(n, 2 beta) lr([I(n-1, beta-1) - I(n-1, beta+1)]). + $ + + By the inductive hypothesis both $I(n-1, beta-1)$ and $I(n-1, beta+1)$ equal $F$ at + their respective arguments: + $ I(n, beta) = frac(n, 2 beta) lr([F(n-1, beta-1) - F(n-1, beta+1)]). $ +] + +#step(reason: [Algebraic verification that $F$ satisfies the same recursion])[ + + We must show + $frac(n, 2 beta) lr([F(n-1, beta-1) - F(n-1, beta+1)]) = F(n, beta)$. + + #strong[Expand $F(n-1, beta-1)$ and $F(n-1, beta+1)$.] + Substituting $(alpha, beta) = (n-1, beta-1)$ into the definition of $F$: + $ + F(n-1, beta-1) + = frac(pi, 2^n) dot frac(Gamma(n), + Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2)+1)). + $ + + (Here the first Gamma argument is $frac((n-1)+(beta-1),2)+1 = frac(n+beta-2,2)+1 = frac(n+beta,2)$, + and the second is $frac((n-1)-(beta-1),2)+1 = frac(n-beta,2)+1$.) + + Similarly, substituting $(alpha, beta) = (n-1, beta+1)$: + $ + F(n-1, beta+1) + = frac(pi, 2^n) dot frac(Gamma(n), + Gamma(frac(n+beta,2)+1) dot Gamma(frac(n-beta,2))). + $ + + #strong[Factor the denominator using the recurrence.] + Apply $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$ to pull the extra factor out of each denominator: + $ + Gamma(frac(n-beta,2)+1) + = frac(n-beta,2) dot Gamma(frac(n-beta,2)), \ + Gamma(frac(n+beta,2)+1) + = frac(n+beta,2) dot Gamma(frac(n+beta,2)). + $ + + This rewrites the two terms so that the same pair $Gamma(frac(n+beta,2))$ and $Gamma(frac(n-beta,2))$ + appears in both denominators: + $ + F(n-1, beta-1) + &= frac(pi Gamma(n), 2^n) + dot frac(2, (n-beta) dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))), \ + F(n-1, beta+1) + &= frac(pi Gamma(n), 2^n) + dot frac(2, (n+beta) dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))). + $ + + #strong[Compute the difference.] + Factoring out the common factor + $frac(2 pi Gamma(n), 2^n dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2)))$: + $ + F(n-1, beta-1) - F(n-1, beta+1) + &= frac(2 pi Gamma(n), 2^n dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))) + dot lr([frac(1, n-beta) - frac(1, n+beta)]) \ + &= frac(2 pi Gamma(n), 2^n dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))) + dot frac((n+beta)-(n-beta), (n-beta)(n+beta)) \ + &= frac(2 pi Gamma(n), 2^n dot Gamma(frac(n+beta,2)) dot Gamma(frac(n-beta,2))) + dot frac(2 beta, n^2-beta^2). + $ + + #strong[Multiply by $n slash (2 beta)$.] + $ + frac(n, 2 beta) lr([F(n-1,beta-1) - F(n-1,beta+1)]) + = frac(2 n pi Gamma(n), + 2^n (n^2-beta^2) Gamma(frac(n+beta,2)) Gamma(frac(n-beta,2))). + $ + + #strong[Rewrite $n^2 - beta^2$ using the recurrence.] + The identity $(n^2 - beta^2) = (n+beta)(n-beta)$ combined with the recurrence + $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$ gives + $ + (n+beta) Gamma(frac(n+beta,2)) + &= 2 dot frac(n+beta,2) dot Gamma(frac(n+beta,2)) + = 2 Gamma(frac(n+beta,2)+1), \ + (n-beta) Gamma(frac(n-beta,2)) + &= 2 dot frac(n-beta,2) dot Gamma(frac(n-beta,2)) + = 2 Gamma(frac(n-beta,2)+1). + $ + + Therefore + $ (n^2-beta^2) Gamma(frac(n+beta,2)) Gamma(frac(n-beta,2)) + = 4 Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1). $ + + Substituting: + $ + frac(n, 2 beta) lr([F(n-1,beta-1) - F(n-1,beta+1)]) + &= frac(2 n pi Gamma(n), 2^n dot 4 Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)) \ + &= frac(n pi Gamma(n), 2^(n+1) Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)) \ + &= frac(pi Gamma(n+1), 2^(n+1) Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)) \ + &= F(n, beta). quad checkmark + $ + + (The last step uses $n Gamma(n) = Gamma(n+1)$ from the recurrence.) +] + +#step(reason: [Strong induction conclusion and + #cite("Carlson's theorem", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem")])[ + + Steps 1–3 establish $I(n, beta) = F(n, beta)$ for every $n in NN_0$ and all + $beta in RR$ by strong induction: Step 1 is the base case, and Step 2 provides + the recursive reduction whose algebraic correctness Step 3 verifies. + + To extend the equality to all real $alpha > -1$, observe: + + - $I(alpha, beta)$ is an analytic function of $alpha$ on $op("Re")(alpha) > -1$, + by the dominated convergence theorem applied to differentiation under the integral + sign (the bound $abs(cos^alpha(x) cos(beta x)) lt.eq cos^(op("Re")(alpha))(x)$ + is integrable for $op("Re")(alpha) > -1$). + - $F(alpha, beta)$ is analytic in $alpha$ on the same half-plane, because the + #cite("Gamma function", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function") + is analytic away from its poles at the non-positive integers, which lie outside + $op("Re")(alpha) > -1$. + - Both functions are bounded on $op("Re")(alpha) gt.eq 0$ (the integral is bounded + by $integral_0^(pi slash 2) 1 dif x = pi slash 2$ and $F$ is bounded there + by the growth estimates on $Gamma$). + - They agree on the set $NN_0 = {0, 1, 2, dots.c}$, which lies within + $op("Re")(alpha) gt.eq 0$. + + By #cite("Carlson's theorem", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Carlson%27s_theorem"), + a function analytic and bounded on $op("Re")(z) gt.eq 0$ that vanishes on $NN_0$ + must be identically zero. The difference $I(alpha, beta) - F(alpha, beta)$ + satisfies all these conditions and vanishes on $NN_0$, so it is identically zero + throughout $op("Re")(alpha) > -1$, and in particular for all real $alpha > -1$. +] + +#theorem[ + For $beta > alpha > -1$, + $ integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x + = frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(Gamma(alpha+1), + Gamma(frac(alpha+beta,2)+1) dot Gamma(frac(alpha-beta,2)+1)). $ +] + +== Proof II: Complex Exponential Method + +#insight[ + Instead of building the formula inductively, we #emph[dissolve $cos^n(x)$ into complex + exponentials] via the binomial theorem, integrate each pure-frequency component in closed + form, and collapse the resulting alternating-sign binomial sum with the + #emph[Vandermonde–Chu identity]. The Euler reflection formula then cancels the remaining + $Gamma(frac(beta-n,2))$ against the sine factor, yielding $F(n,beta)$ directly. The proof + runs exactly for integer $n = alpha$; the extension to real $alpha > -1$ still uses + Carlson's theorem — the same final step as Solution 1. +] + +#diagram(caption: [ + The substitution $w = e^(-2i x)$ sends $x in (0, pi slash 2)$ to the lower arc on the unit + circle (accent), from $w=1$ at $x=0$ through $w=-i$ at $x=pi slash 4$ to the endpoint + $w=-1$ at $x=pi slash 2$. The open disk $|w|<1$ (shaded) is the unconditional convergence + region of the binomial series $(1+w)^n = sum_k binom(n,k)w^k$. The path lies on the + boundary; the endpoint $w=-1$ is the only problematic point, but $(1+w)^n=0$ there so the + integrand vanishes and the swap of sum and integral is valid. +])[ + #cetz.canvas(length: 1cm, { + import cetz.draw: * + let acc = default-theme.accent + let r = 2.0 + let N = 60 + circle((0, 0), radius: r, fill: acc.lighten(88%), stroke: luma(185) + 0.7pt) + for i in range(0, N) { + let th1 = -float(i) / float(N) * calc.pi + let th2 = -float(i + 1) / float(N) * calc.pi + line( + (r * calc.cos(th1), r * calc.sin(th1)), + (r * calc.cos(th2), r * calc.sin(th2)), + stroke: acc + 1.8pt, + ) + } + line((0.22, -r + 0.06), (-0.18, -r - 0.06), mark: (end: ">"), stroke: acc + 1.3pt) + line((-r - 0.5, 0), (r + 0.5, 0), mark: (end: ">"), stroke: luma(60) + 0.6pt) + line((0, -r - 0.55), (0, r + 0.55), mark: (end: ">"), stroke: luma(60) + 0.6pt) + content((r + 0.68, -0.28), text(size: 7.5pt)[$op("Re")(w)$]) + content((-0.52, r + 0.58), text(size: 7.5pt)[$op("Im")(w)$]) + circle((r, 0), radius: 0.09, fill: acc, stroke: none) + content((r + 0.18, 0.38), text(size: 7.5pt, fill: acc)[$w=1$]) + content((r + 0.18, 0.12), text(size: 6.5pt, fill: luma(120))[$x=0$]) + circle((0, -r), radius: 0.07, fill: acc.lighten(15%), stroke: none) + content((0.38, -r - 0.25), text(size: 7.5pt)[$w=-i$]) + content((0.38, -r - 0.5), text(size: 6.5pt, fill: luma(120))[$x=pi slash 4$]) + circle((-r, 0), radius: 0.09, fill: white, stroke: rgb("#c0392b") + 1.2pt) + line((-r - 0.1, -0.1), (-r + 0.1, 0.1), stroke: rgb("#c0392b") + 1.2pt) + line((-r - 0.1, 0.1), (-r + 0.1, -0.1), stroke: rgb("#c0392b") + 1.2pt) + content((-r - 0.15, 0.44), text(size: 7.5pt, fill: rgb("#c0392b"))[$w=-1$]) + content((-r - 0.15, 0.18), text(size: 6.5pt, fill: luma(120))[$x=pi slash 2$]) + content((-0.1, 0.80), text(size: 7.5pt, fill: acc.darken(15%))[$|w|<1$]) + content((-0.1, 0.50), text(size: 6.5pt, fill: acc.darken(15%))[series converges]) + content((1.5, -1.7), text(size: 7.5pt, fill: acc)[$w = e^(-2i x)$]) + }) +] + +#step(reason: [Express as real part of a complex integral])[ + Write $cos(beta x) = op("Re")(e^(i beta x))$ and define + $ J := integral_0^(pi slash 2) cos^n(x) e^(i beta x) dif x, $ + so $I(n, beta) = op("Re")(J)$. The advantage: $e^(i beta x)$ absorbs + both $cos(beta x)$ and $sin(beta x)$ into one expression; we carry a single + complex integrand and project onto the real axis only at the end. +] + +#step(reason: [ + Expand $cos^n(x)$ by the + #cite([binomial theorem], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem")])[ + + Write $2cos(x) = e^(i x) + e^(-i x)$ and factor out $e^(i n x)$: + $ + cos^n(x) = frac((e^(i x) + e^(-i x))^n, 2^n) + = frac(e^(i n x), 2^n) (1 + e^(-2i x))^n. + $ + + Apply $(1 + w)^n = sum_(k=0)^n binom(n,k) w^k$ with $w = e^(-2i x)$: + $ + cos^n(x) = frac(1, 2^n) sum_(k=0)^n binom(n,k) e^(i(n - 2k)x). + $ + + #remark[ + The sum terminates at $k = n$ because $binom(n,k) = 0$ for integer $k > n$. The + $n+1$ frequencies $n - 2k$ for $k = 0, 1, dots.c, n$ form the distinct arithmetic + sequence $n, n-2, dots.c, -n$, so no two terms share a frequency and the + decomposition is unique. + ] + + Substituting into $J$ and swapping the (finite) sum with the integral: + $ + J = frac(1, 2^n) sum_(k=0)^n binom(n,k) integral_0^(pi slash 2) e^(i(n+beta-2k)x) dif x. + $ +] + +#step(reason: [Evaluate each exponential integral; extract the real part])[ + Set $gamma_k := n + beta - 2k$. For $gamma_k eq.not 0$, a direct antiderivative gives + $ + integral_0^(pi slash 2) e^(i gamma_k x) dif x + = lr([frac(e^(i gamma_k x), i gamma_k)])_0^(pi slash 2) + = frac(e^(i gamma_k pi slash 2) - 1, i gamma_k). + $ + + Separate into real and imaginary parts by writing + $e^(i gamma_k pi slash 2) - 1 = (cos(gamma_k pi slash 2) - 1) + i sin(gamma_k pi slash 2)$: + $ + frac(e^(i gamma_k pi slash 2) - 1, i gamma_k) + = frac(sin(gamma_k pi slash 2), gamma_k) + + frac(cos(gamma_k pi slash 2) - 1, i gamma_k). + $ + + The second fraction: multiplying numerator and denominator by $-i$ turns it into + $frac(-i (cos(gamma_k pi slash 2) - 1), gamma_k)$, which is purely imaginary. + Therefore + $ + op("Re") integral_0^(pi slash 2) e^(i gamma_k x) dif x + = frac(sin(gamma_k pi slash 2), gamma_k) + = frac(sin(frac((n+beta-2k)pi, 2)), n+beta-2k). + $ + + Assembling over all $k$: + $ + I(n, beta) = frac(1, 2^n) sum_(k=0)^n binom(n,k) + frac(sin(frac((n+beta-2k)pi, 2)), n+beta-2k). + $ +] + +#step(reason: [ + Factor via angle subtraction; evaluate sum by + #cite([Vandermonde–Chu identity], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity")])[ + + #strong[Factor $sin$ out of the sum.] + For any integer $k$, use $sin(theta - k pi) = (-1)^k sin(theta)$ + (since $cos(k pi) = (-1)^k$ and $sin(k pi) = 0$) with $theta = frac((n+beta)pi, 2)$: + $ + sin frac((n+beta-2k)pi, 2) + = sin(frac((n+beta)pi, 2) - k pi) + = (-1)^k sin frac((n+beta)pi, 2). + $ + The factor $sin frac((n+beta)pi, 2)$ is independent of $k$, so it pulls out: + $ I(n,beta) = frac(sin(frac((n+beta)pi, 2)), 2^n) dot S_n $ + where $S_n := sum_(k=0)^n frac((-1)^k binom(n,k), n+beta-2k)$. + + #strong[Evaluate $S_n$ by substituting $j = n - k$.] + Setting $j = n - k$ (so $k = n - j$, $(-1)^k = (-1)^n (-1)^j$, and + $binom(n,n-j) = binom(n,j)$), and noting $n+beta-2(n-j) = beta-n+2j$: + $ + S_n + = sum_(j=0)^n frac((-1)^n (-1)^j binom(n,j), beta-n+2j) + = frac((-1)^n, 2) sum_(j=0)^n frac((-1)^j binom(n,j), frac(beta-n,2)+j). + $ + + The inner sum matches the + #cite([Vandermonde–Chu identity], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity"): + for $s > 0$ and integer $n gt.eq 0$, + $ + sum_(j=0)^n frac((-1)^j binom(n,j), s+j) + = B(s, n+1) + = frac(Gamma(s) Gamma(n+1), Gamma(s+n+1)). + $ + + Set $s = (beta-n) slash 2$; then $s + n + 1 = (n+beta) slash 2 + 1$: + $ + sum_(j=0)^n frac((-1)^j binom(n,j), frac(beta-n,2)+j) + = frac(Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(n+1), Gamma(frac(n+beta,2)+1)). + $ + + Therefore: + $ + S_n = frac((-1)^n, 2) dot frac(Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(n+1), Gamma(frac(n+beta,2)+1)). + $ + + Substituting into the equation for $I(n,beta)$: + $ + I(n, beta) + = frac((-1)^n sin(frac((n+beta)pi, 2)), 2^(n+1)) + dot frac(Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(n+1), Gamma(frac(n+beta,2)+1)). + $ +] + +#step(reason: [ + Cancel $Gamma(frac(beta-n,2))$ against the sine via + #cite([Euler reflection formula], url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula")])[ + + Apply $Gamma(z)Gamma(1-z) = pi slash sin(pi z)$ with $z = (beta-n) slash 2$ + and $1 - z = (n-beta) slash 2 + 1$: + $ Gamma(frac(beta-n,2)) Gamma(frac(n-beta,2)+1) = frac(pi, sin(frac((beta-n)pi, 2))). $ + + Since $sin(frac((beta-n)pi,2)) = -sin(frac((n-beta)pi,2))$, isolating $Gamma(frac(beta-n,2))$: + $ Gamma(frac(beta-n,2)) = frac(-pi, Gamma(frac(n-beta,2)+1) sin(frac((n-beta)pi,2))). $ + + #strong[Sine identity for integer $n$.] + Apply $sin(A + n pi) = (-1)^n sin(A)$ with $A = (beta-n)pi slash 2$: + $ + sin frac((n+beta)pi, 2) + = (-1)^n sin frac((beta-n)pi, 2) + = (-1)^(n+1) sin frac((n-beta)pi, 2). + $ + + #strong[Collect all factors.] + Substitute the expression for $Gamma(frac(beta-n,2))$ into the formula for $I(n,beta)$ + obtained in the previous step. Writing $G_+ = Gamma(frac(n+beta,2)+1)$ and + $G_- = Gamma(frac(n-beta,2)+1)$ for brevity: + $ + I(n, beta) + = frac((-1)^n sin(frac((n+beta)pi,2)), 2^(n+1)) + dot frac(Gamma(n+1), G_+) + dot frac(-pi, G_- sin(frac((n-beta)pi,2))). + $ + + Replace $(-1)^n sin(frac((n+beta)pi,2)) = (-1)^(n+1) sin(frac((n-beta)pi,2))$, then + $sin(frac((n-beta)pi,2))$ cancels top and bottom: + $ + I(n, beta) + = frac((-1)^(n+1) dot (-pi) dot (-1)^(n+1) dot Gamma(n+1), 2^(n+1) G_+ G_-) + = frac((-1)^(2n+2) pi Gamma(n+1), 2^(n+1) G_+ G_-) + = frac(pi Gamma(n+1), 2^(n+1) Gamma(frac(n+beta,2)+1) Gamma(frac(n-beta,2)+1)). + $ + + This is exactly $F(n, beta)$. The extension to real $alpha > -1$ proceeds identically to + Solution 1: both $I(alpha,beta)$ and $F(alpha,beta)$ are analytic and bounded on + $op("Re")(alpha) gt.eq 0$ and agree on $NN_0$, so Carlson's theorem gives + $I(alpha,beta) = F(alpha,beta)$ for all $alpha > -1$. #sym.checkmark +] + + += Verification + +#strong[Direct computation ($alpha = 1$, $beta = 2$).] +Use the double-angle identity $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$ to expand the integrand: +$ + I(1,2) + &= integral_0^(pi slash 2) cos(x)(2cos^2(x) - 1) dif x \ + &= 2 integral_0^(pi slash 2) cos^3(x) dif x - integral_0^(pi slash 2) cos(x) dif x. +$ +The standard results $integral_0^(pi slash 2) cos^3(x) dif x = 2 slash 3$ and +$integral_0^(pi slash 2) cos(x) dif x = 1$ give +$ I(1,2) = 2 dot frac(2,3) - 1 = frac(4,3) - 1 = frac(1,3). $ + +The formula yields $F(1,2) = frac(pi,4) dot frac(Gamma(2), Gamma(5 slash 2) dot Gamma(1 slash 2))$. +With $Gamma(2) = 1! = 1$, $Gamma(1 slash 2) = sqrt(pi)$, and +$Gamma(5 slash 2) = frac(3,2) dot frac(1,2) dot Gamma(1 slash 2) = frac(3 sqrt(pi), 4)$: +$ F(1,2) = frac(pi,4) dot frac(1, frac(3 sqrt(pi), 4) dot sqrt(pi)) + = frac(pi,4) dot frac(4, 3 pi) + = frac(1,3). $ + +Both methods give $1 slash 3$. #sym.checkmark + +#strong[Higher-degree check ($alpha = 2$, $beta = 3$).] +Use the triple-angle identity $cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)$: +$ + I(2,3) + &= integral_0^(pi slash 2) cos^2(x)(4cos^3(x) - 3cos(x)) dif x \ + &= 4 integral_0^(pi slash 2) cos^5(x) dif x - 3 integral_0^(pi slash 2) cos^3(x) dif x \ + &= 4 dot frac(8,15) - 3 dot frac(2,3) + = frac(32,15) - 2 + = frac(2,15). +$ + +($integral_0^(pi slash 2) cos^5(x) dif x = 8 slash 15$ by the Wallis reduction formula.) + +The formula gives $F(2,3) = frac(pi,8) dot frac(Gamma(3), Gamma(7 slash 2) dot Gamma(1 slash 2))$. +With $Gamma(3) = 2$, $Gamma(7 slash 2) = frac(5,2) dot frac(3,2) dot frac(1,2) dot sqrt(pi) = frac(15 sqrt(pi), 8)$: +$ F(2,3) = frac(pi,8) dot frac(2, frac(15 sqrt(pi), 8) dot sqrt(pi)) + = frac(pi,8) dot frac(16, 15 pi) + = frac(2,15). $ + +Both give $2 slash 15$. #sym.checkmark + +#strong[Wallis integral ($beta = 0$, general $alpha$).] +When $beta = 0$ the integrand becomes $cos^alpha(x)$ and the formula predicts +$ F(alpha, 0) = frac(pi, 2^(alpha+1)) dot frac(Gamma(alpha+1), lr([Gamma(frac(alpha,2)+1)])^2). $ +The +#cite("Legendre duplication formula", + url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem#Legendre_duplication_formula") +$Gamma(2z) = frac(2^(2z-1), sqrt(pi)) Gamma(z) Gamma(z + frac(1,2))$ +with $2z = alpha + 1$ (i.e., $z = (alpha+1) slash 2$) gives +$ Gamma(alpha+1) = frac(2^alpha, sqrt(pi)) Gamma(frac(alpha+1,2)) Gamma(frac(alpha,2)+1). $ +Substituting into $F(alpha, 0)$: +$ + F(alpha, 0) + &= frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(frac(2^alpha, sqrt(pi)) Gamma(frac(alpha+1,2)) Gamma(frac(alpha,2)+1), + lr([Gamma(frac(alpha,2)+1)])^2) \ + &= frac(pi, 2^(alpha+1)) + dot frac(2^alpha Gamma(frac(alpha+1,2)), sqrt(pi) dot Gamma(frac(alpha,2)+1)) \ + &= frac(sqrt(pi), 2) dot frac(Gamma(frac(alpha+1,2)), Gamma(frac(alpha,2)+1)), +$ +which is precisely the +#cite("Wallis integral", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals") +$integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) dif x = frac(sqrt(pi), 2) dot frac(Gamma(frac(alpha+1,2)), Gamma(frac(alpha,2)+1))$. +#sym.checkmark + += Reflection + +#strong[Integer specialization.] +When $n, m in NN_0$ with $n + m$ even, the Gamma quotient in $F(n, m)$ reduces via $Gamma(k+1) = k!$ to +$ F(n, m) = frac(pi, 2^(n+1)) binom(n, frac(n+m,2)), $ +the classical result for $integral_0^(pi slash 2) cos^n(x) cos(m x) dif x$ for non-negative +integer parameters. The general formula is the natural extension of this discrete identity +to the full parameter range $beta > alpha > -1$. + +#strong[Convergence conditions.] +The constraint $alpha > -1$ ensures $cos^alpha(x)$ is integrable near $x = pi slash 2$, +where $cos(x) -> 0$. The formula for $F(alpha, beta)$ is also well-defined whenever neither +Gamma factor in the denominator hits a pole — the poles of $Gamma$ occur only at +$0, -1, -2, dots.c$, so the formula remains valid (evaluating to $0$ on both sides) even +for certain pairs outside $beta > alpha > -1$. + +#strong[Beta function form.] +Using $B(a, b) = Gamma(a) Gamma(b) slash Gamma(a+b)$, the result can be written as +$ integral_0^(pi slash 2) cos^alpha(x) cos(beta x) dif x + = frac(pi, 2^(alpha+1) (alpha+1) dot B(frac(alpha+beta,2)+1, frac(alpha-beta,2)+1)), $ +highlighting the integral as a reciprocal Beta value weighted by $pi slash (alpha+1)$. From f7891a62f120cec08e0d727b7fcd5dc23d1946bb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Chayanon Somatanai Date: Sun, 21 Jun 2026 16:13:14 +0700 Subject: [PATCH 2/2] fix(analysis-001): tighten induction domain; show full slug in README index --- README.md | 4 ++-- problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ | 3 ++- problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ | 3 ++- scripts/build-index.sh | 2 +- 4 files changed, 7 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/README.md b/README.md index ec0af90..f56e2e8 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -38,8 +38,8 @@ their tags. | # | Problem | Topics | Source | Solved | |---|---------|--------|--------|--------| -| 001 | Cosine Power–Cosine Fourier Integral | calculus, definite-integral, special-functions, gamma-function, beta-function, complex-analysis, fourier-analysis, trigonometry, induction, analytic-continuation, combinatorics | Romanian Mathematical Magazine, proposed by K. Srinivasa Raghava | 2026-06-21 | -| 001 | A Nested Floor–Ceiling Integral | calculus, floor-ceiling, definite-integral | [MIT Integration Bee 2026, Qualifying Round, #15](https://math.mit.edu/~yyao1/pdf/qualifying_round_2026_answers.pdf) | 2026-06-20 | +| analysis-001 | Cosine Power–Cosine Fourier Integral | calculus, definite-integral, special-functions, gamma-function, beta-function, complex-analysis, fourier-analysis, trigonometry, induction, analytic-continuation, combinatorics | Romanian Mathematical Magazine, proposed by K. Srinivasa Raghava | 2026-06-21 | +| calc-001 | A Nested Floor–Ceiling Integral | calculus, floor-ceiling, definite-integral | [MIT Integration Bee 2026, Qualifying Round, #15](https://math.mit.edu/~yyao1/pdf/qualifying_round_2026_answers.pdf) | 2026-06-20 | diff --git a/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ index bd6a3ba..2f4b3ff 100644 --- a/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ +++ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral-th.typ @@ -243,7 +243,8 @@ $ F(alpha, beta) := #cite("เอกลักษณ์ผลคูณ–ผลรวม", url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities")])[ - กำหนดจำนวนเต็ม $n gt.eq 1$ และสมมติว่า $I(n-1, gamma) = F(n-1, gamma)$ สำหรับทุก $gamma in RR$ + กำหนดจำนวนเต็ม $n gt.eq 1$ และสมมติว่า $I(n-1, gamma) = F(n-1, gamma)$ สำหรับทุก $gamma > n - 1$ + (สมมติฐาน induction; ครอบคลุม $gamma = beta plus.minus 1$ เพราะ $beta > n$ นำไปสู่ $beta - 1 > n - 1$) ตั้ง $ u = cos^n(x), quad dif v = cos(beta x) dif x $ ดังนั้น diff --git a/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ index 3c6aeef..f7a6a84 100644 --- a/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ +++ b/problems/analysis-001-cos-power-cos-integral.typ @@ -254,7 +254,8 @@ $cos(beta x)$, whose sign changes partially cancel the accumulated area. url: "https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities")])[ Fix an integer $n gt.eq 1$ and assume $I(n-1, gamma) = F(n-1, gamma)$ for all - $gamma in RR$ (the inductive hypothesis). We set + $gamma > n - 1$ (the inductive hypothesis; this covers $gamma = beta plus.minus 1$ + since $beta > n$ implies $beta - 1 > n - 1$). We set $ u = cos^n(x), quad dif v = cos(beta x) dif x, $ so that $ dif u = -n cos^(n-1)(x) sin(x) dif x, quad v = frac(sin(beta x), beta). $ diff --git a/scripts/build-index.sh b/scripts/build-index.sh index 416bf5e..6bb7ab6 100644 --- a/scripts/build-index.sh +++ b/scripts/build-index.sh @@ -44,7 +44,7 @@ topics_all="" while IFS= read -r f; do base="$(basename "$f")" - num="$(printf '%s' "$base" | sed -E 's/^[a-z]+-([0-9]{3})-.*/\1/')" + num="$(printf '%s' "$base" | sed -E 's/^([a-z]+-[0-9]{3})-.*/\1/')" json="$(typst query --root "$ROOT" "$f" '' --field value --one 2>/dev/null)" || { echo "error: failed to query $base (does it compile?)" >&2; exit 1;