rk 1 : variants 1, 2, 4, 6

Практика/РК1/Варианты/Вариант 5.md

@@ -1,5 +1,5 @@
 ### 1. Язык $\{w \big{|} |w|_{ab} = |w|_{bba} \& |w|_{bbb} = 0 \& w \in \{a, b\}^*\}$.
 ### 2. Язык слов, первая треть которых не равна последней трети.
-### 3. Язык истинных выражений, представляющих собой утверждение вида $N_1 + N_2 > N_0$, где $N_0, N_1, и N_2$ — двоичные числа.
+### 3. Язык истинных выражений, представляющих собой утверждение вида $N_1 + N_2 > N_0$, где $N_0, N_1,\text{ и }N_2$ — двоичные числа.
 
 #пустой

Практика/РК1/Варианты/Вариант 6.md

@@ -1,5 +1,89 @@
-### 1. Язык логических формул $c \Rightarrow$ и без скобок, содержащих только константы $0$ и $1$, таких что их значение равно $1$. Считаем следование правоассоциативным, т.е. $1 \Rightarrow 0 \Rightarrow 0$понимаем как $1 \Rightarrow (0 \Rightarrow 0)$.
-### 2. Язык $$\{w_1 v w_2 \big{|} w_2 = h (w_1)h(w_1) \& w_i \in \{a, b\}^* \& v \in b^*a^*\}$$, где h -  гомоморфизм, определённый правилами $h(a) = aa, h(b) = a$.
+### 1. Язык логических формул с $\Rightarrow$ и без скобок, содержащих только константы $0$ и $1$, таких что их значение равно $1$. Считаем следование правоассоциативным, т.е. $1 \Rightarrow 0 \Rightarrow 0$ понимаем как $1 \Rightarrow (0 \Rightarrow 0)$.
+
+Если справа 1, то слева может быть все что угодно.
+Если справа 0, то слева только 0.
+
+Соответственно, можно регулярку строить рекурсивно, относительно правого выражения.
+- Если справа $0\Rightarrow0$, $0\Rightarrow1$, $1\Rightarrow1$, то слева может быть любое регулярное выражение
+- Если справа стоит $1\Rightarrow0$, то слева должно быть $0\Rightarrow X$, где X - это ложное выражение
+
+Регулярка делает вывод о разборе по первому символу. Если символ 0, то формула будет истинной при любом суффиксе. Если 1, то истина только если истин суффикс.
+Выведем регулярку через грамматику
+```
+S -> 0 => T | 1 => S | 1 => 1 | 0 => 0 | 0 => 1 // верное логическое выражение
+T -> 0 => T | 1 => 1 | 1 => 1 | 0 => 0 | 0 => 1 | 1 => 0 // любое логическое выражение
+```
+
+Таким образом можно построить НКА, разбирающий язык(приведен без промежуточных состояний):
+```dot
+digraph{
+	rankdir=LR
+	node[shape=circle]
+	point[shape=point]
+	F[shape=doublecircle]
+
+	point -> S
+
+	S -> F [label="1=>1"]
+	S -> F [label="0=>1"]
+	S -> F [label="0=>0"]
+	S -> S [label="1=>"]
+	S,T -> T [label="0=>"]
+	T -> T [label="1=>"]
+	T -> F [label="1=>1"]
+	T -> F [label="0=>1"]
+	T -> F [label="0=>0"]
+	T -> F [label="1=>0"]
+}
+```
+
+Далее при необходимости можно добавить промежуточные состояния и детерминизирвать.
+
+### 2. Язык $\{w_1 v w_2 \big{|} w_2 = h (w_1)h(w_1) \& w_i \in \{a, b\}^* \& v \in b^*a^*\}$, где h -  гомоморфизм, определённый правилами $h(a) = aa, h(b) = a$.
+
+Грамматика
+```
+S -> aSaaaa | bSaa | T
+T -> BA
+A -> aA | ε
+B -> bB | ε
+```
+Так допустимо, так как образы гомоморфизма комутативны, то есть можно спокойно перемещать так как необходимо и нужно учитывать только количество. Поэтому структуру последовательных слов преобразуем в комутативную ей скобочную структуру.
+$$S \to aS\underbrace{aa}_{h(a)}\underbrace{aa}_{h(a)} \mid bS\underbrace{a}_{h(b)}\underbrace{a}_{h(b)} \mid T$$
 ### 3. Язык деревьев арифметических выражений с операциями бинарного сложения и умножения, а также одноразрядными числами, таких, что они вычисляют простое число.
+В-первых, определим как задается язык деревьев арифметических выражений, вычисляющих простое число $p$.
+В листьях может быть одноразрядные числа $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
+В ветвях может быть только $+(T1, T2)$ и $*(T1, T2)$.
+
+Очевидно, что на поддеревьях естественно возникает отношение эквивалентности по равенству значений, которые они вычисляют. Это соответствует определению эквивалентности, так как мы можем поменять любые поддеревья, вычисляющие одинаковое число местами и общий результат арифметического выражения не изменится. Более того, такое отношение эквивалентности возникает для любых вычисляющих деревьев: будь то деревья булевой алгебры или другие. 
+
+В соответствии с этим, мы получаем счетное число классов эквивалентности, поэтому по теореме Майхилла-Нероуда этот язык **не будет древесно-автоматным.**
+
+Почему нельзя задать другое отношение эквивалентности? Полученное нами отношение эквивалентности естественно возникает из того, что деревья являются вычисляющими. Так рассмотрим операции, и проверим, когда они будут равны.
+$$+(X,Y) = +(Z, Y) \Leftrightarrow X = Z$$
+$$*(X,Y) = *(Z,Y) \Leftrightarrow X = Z$$
+
+>[!note] Излишнее рассуждение о том, что мы не можем ввести другое отношение эквивалентности на вычисляющих деревьях
+>Пусть мы задали какое-то другое отношение эквивалентности, отличное от построенного ранее. Обозначим как $\operatorname{eqv}$, тогда существуют такие $X,Y$, что
+>$$\begin{matrix}
+X \neq Y \text{ и } X \operatorname{eqv} Y\space (1)\\
+\text{ или }\\
+X = Y \text{ и не } X \operatorname{eqv} Y \space (2)
+\end{matrix}$$
+> Случай 2 не может быть, так как если $X = Y$, то тогда нарушается определение эквивалентности, что $X \operatorname{eqv} X$. и мы получаем противоречие.
+> Случай 1 означает, что общее число классов эквивалентности уменьшается, поэтому мы не можем просто отбросить этот случай. Из определения эквивалентности имеем
+> $$X \operatorname{eqv} Y \Leftrightarrow +(X, Z) = +(Y,Z)$$
+> А это вновь нас сводит к тому, что построенное нами отношение эквивалентности соответствует отношению равенства. Поэтому даже если мы очень захотим построить другое отношение эквивалентности на вычисляющих деревьях в полугруппах, то у нас это не получится =(.
+> Почему важно требование, что мы работаем в группе? Потому что наше рассуждение целиком опирается на факт, что $+(X,Y) = +(Z, Y) \Leftrightarrow X = Z$. Слева направо факт следует в всех случаях, но обратно следует не всегда. Докажем его.
+> $$f(x,z) = f(y,z) \text{, но } x \neq y$$
+> $$f(f(x,z),a) = f(f(y,z), a)$$
+> ассоциативность
+> $$f(x, f(z,a)) = f(y, f(z,a))$$
+> $$f(x,b) = f(y,b)$$
+> Причем, мы так можем сделать для любого $a$, таким образом мы получаем, что все множество значений разбивается на 2 класса эквивалентности(так как $x\neq y$): для которых $f(x,z) = f(y,z)$ и для которых не выполнено это равенство. Но если это равенство не выполнено, то не выполнено определение эквивалентных поддеревьев. Соответственно для любых элементов выполено равенство, из чего следует равенство $x,y$. Так как мы воспользовались только свойством ассоциативности бинарной операции, то это свойство будет выполняться для любых вычисляющих деревьев в полугруппах.
+
+Стоит сказать, что такой вывод об эквивалентности работает далеко не всегда. Например, если бы вычислялись четные выражения с теми же самыми структурами, то язык был бы древесным, так как можно выделить лишь 2 класса эквивалентности: четные и нечетные подвыражения, и на основе этих данных можно делать вывод о четности их суммы или произведения. Аналогично, можно расширить на другие остатки от деления.
+
+Почему нельзя представить другую факторизацию чисел, то есть перейти к гомоморфизму в другую полугруппу, в которой все будет работать? ==Для обоснования этого можно привести==
 
-#пустой
+Возьмем подмножество деревьев только из 1 и сложений, вычисляющих простые числа. Очевидно, что если взять 2 дерева, вычисляющих $x < y$ - простые числа, то $x$ - поддерево $y$, причем $y$ линейно зависит от значения поддерева $x$, то есть пожно представить как $y = x + b$. Так как мы полагаем, что они принадлежат одному классу эквивалентности, то справедливо $z = y+ b = x+ 2b$ - также простое. Если провести соответствующую накачку $x$ раз, то получим $z = x + xb = x(1 + b)$ - очевидно составное число. Получаем противоречие $\implies$  бесконечное число классов эквивалентности в силу общности рассуждения относительно двух простых чисел и бесконечного количества простых чисел $\implies$ не древесно-автоматный язык.

Практика/РК1/Варианты/Вариант 8.md

@@ -1,12 +1,3 @@
-В РК было 3 типа заданий [[Содержание РК1]]:![[Pasted image 20241112182939.png]]
-# Что нужно для РК?
-Мозги(Опционально)
-![[Теорема Майхилла-Нероуда]]![[Лемма о накачке для КС-языков]]
-Элементы не академических регулярок
-+ $r_1(?<= r_2)r_3 \sim (.^*r_2 \cap r_1) r_3$ - (look behind) ретроспективная проверка
-+ $(?= r_1)r_2 \sim (r_1.^* \cap r_2)$ - (look ahead) опережающая проверка
-# Разбор вариантов
-## Вариант 8
 ### 1. Язык правильно построенных логических формул над алфавитом $\{(,),P, Q, \land, \neg\}$, таких что в их каждом подслове длинны 3, кроме, возможно, единственного, первая и последняя буквы совпадают
 Решение:
 Рассмотрим сначала возможные "правильные" подслова(P или Q буду обозначать за X)

Практика/РК1/Навигация по вариантам.md

@@ -1,28 +1,82 @@
-[[Вариант 1]]
-[[Вариант 2]]
-[[Вариант 3]]
-[[Вариант 4]]
-[[Вариант 5]]
-[[Вариант 6]]
-[[Вариант 7]]
-[[Вариант 8]]
-[[Вариант 9]]
-[[Вариант 10]]
-[[Вариант 11]]
-[[Вариант 12]]
-[[Вариант 13]]
-[[Вариант 14]]
-[[Вариант 15]]
-[[Вариант 16]]
-[[Вариант 17]]
-[[Вариант 18]]
-[[Вариант 19]]
-[[Вариант 20]]
-[[Вариант 21]]
-[[Вариант 22]]
-[[Вариант 23]]
-[[Вариант 24]]
-[[Вариант 25]]
-[[Вариант 26]]
-[[Вариант 27]]
-[[Вариант 28]]
+![[Вариант 1]]
+
+---
+![[Вариант 2]]
+
+---
+![[Вариант 3]]
+
+---
+![[Вариант 4]]
+
+---
+![[Вариант 5]]
+
+---
+![[Вариант 6]]
+
+---
+![[Вариант 7]]
+
+---
+![[Вариант 8]]
+
+---
+![[Вариант 9]]
+
+---
+![[Вариант 10]]
+
+---
+![[Вариант 11]]
+
+---
+![[Вариант 12]]
+
+---
+![[Вариант 13]]
+
+---
+![[Вариант 14]]
+
+---
+![[Вариант 15]]
+
+---
+![[Вариант 16]]
+
+---
+![[Вариант 17]]
+
+---
+![[Вариант 18]]
+
+---
+![[Вариант 19]]
+
+---
+![[Вариант 20]]
+
+---
+![[Вариант 21]]
+
+---
+![[Вариант 22]]
+
+---
+![[Вариант 23]]
+
+---
+![[Вариант 24]]
+
+---
+![[Вариант 25]]
+
+---
+![[Вариант 26]]
+
+---
+![[Вариант 27]]
+
+---
+![[Вариант 28]]